题目

6、lim_(ntoinfty)(1^2+2^2+...+n^2)/(n^3)

6、$\lim_{n\to\infty}\frac{1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}}{n^{3}}$

题目解答

答案

根据题目要求，计算极限 $\lim_{n \to \infty} \frac{1^2 + 2^2 + \cdots + n^2}{n^3}$。 首先，利用平方和公式 $1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$，将分子代入原式： \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}. \] 接下来，展开分子并简化： \[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} = \frac{n(2n^2 + 3n + 1)}{6n^3} = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6n^3}. \] 将分子分母同时除以 $n^3$： \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{6} = \frac{2 + 0 + 0}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}. \] 因此，极限为 $\boxed{\frac{1}{3}}$。

解析

考查要点：本题主要考查数列极限的计算，涉及平方和公式的应用以及多项式展开与化简的能力。

解题核心思路：

  1. 利用平方和公式将分子展开，转化为多项式形式；
  2. 约分后对分子和分母的最高次项进行比较，确定极限值；
  3. 极限运算中，低次项和常数项在高次项的主导下趋于0。

破题关键点：

  • 正确应用平方和公式：$1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$；
  • 展开并化简分子，与分母$n^3$约分后，仅保留最高次项的系数比。

步骤1：代入平方和公式
根据平方和公式，分子$1^2 + 2^2 + \cdots + n^2$可表示为：
$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
因此，原式变为：
$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}$

步骤2：展开分子并化简
展开分子$n(n+1)(2n+1)$：
$\begin{aligned}n(n+1)(2n+1) &= n \cdot (2n^2 + 3n + 1) \\&= 2n^3 + 3n^2 + n\end{aligned}$
代入原式得：
$\frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6n^3}$

步骤3：约分并提取最高次项
将分子和分母同时除以$n^3$：
$\frac{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{6}$
当$n \to \infty$时，$\frac{3}{n}$和$\frac{1}{n^2}$均趋于0，因此极限为：
$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$