题目

23.如图,直线 y=2x+6 与反比例函数 =dfrac (k)(x)(kgt 0) 的图象交于点A((m,8),与x轴交于点B,平行-|||-于x轴的直线 =n(0lt nlt 6) 交反比例函数的图象于点M,交AB于点N,连接BM.-|||-(1)求m的值和反比例函数的解析式;-|||-(2)观察图象,直接写出当 gt 0 时不等式 +6-dfrac (k)(x)gt 0 的解集;-|||-(3)直线 y=n 沿y轴方向平移,当n为何值时, Delta BMN 的面积最大?最大值是多少?-|||-y↑ y=2x+6-|||-A-|||-N M-|||-y=n-|||-/B 0 x

题目解答

答案

解析

  1. 第（1）题：考查点的坐标代入和待定系数法求反比例函数解析式。关键是将点A的坐标代入直线方程求m，再利用点A的坐标求k。
  2. 第（2）题：通过函数图像的位置关系解不等式。观察直线与双曲线的交点，确定不等式成立的x范围。
  3. 第（3）题：几何与代数结合，通过坐标表示三角形面积，转化为二次函数求最大值。核心是找到面积表达式并利用顶点公式求极值。

第（1）题

求m的值

点A在直线$y=2x+6$上，且纵坐标为8：
$2m + 6 = 8 \implies m = 1$

求反比例函数解析式

点A$(1,8)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$上：
$k = 1 \times 8 = 8 \implies y = \dfrac{8}{x}$

第（2）题

图像分析

不等式$2x+6 - \dfrac{8}{x} > 0$等价于直线在双曲线上方。观察图像，当$x > 1$时，直线在双曲线上方。

第（3）题

求点B坐标

直线$y=2x+6$与x轴交点B，令$y=0$：
$2x + 6 = 0 \implies x = -3 \implies B(-3, 0)$

求点N和M的坐标

  • 点N：直线$y=n$与直线AB的交点：
    $2x + 6 = n \implies x = \dfrac{n}{2} - 3 \implies N\left(\dfrac{n}{2} - 3, n\right)$
  • 点M：直线$y=n$与反比例函数的交点：
    $\dfrac{8}{x} = n \implies x = \dfrac{8}{n} \implies M\left(\dfrac{8}{n}, n\right)$

计算MN的长度

$MN = \dfrac{8}{n} - \left(\dfrac{n}{2} - 3\right) = \dfrac{8}{n} - \dfrac{n}{2} + 3$

表达三角形面积

$S_{\Delta BMN} = \dfrac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高} = \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{8}{n} - \dfrac{n}{2} + 3\right) \times n = -\dfrac{1}{4}n^2 + \dfrac{3}{2}n + 4$

求最大值

二次函数$S = -\dfrac{1}{4}n^2 + \dfrac{3}{2}n + 4$的顶点在$n = 3$，最大值为：
$S_{\text{max}} = -\dfrac{1}{4}(3)^2 + \dfrac{3}{2}(3) + 4 = \dfrac{25}{4}$