厂家用某种钢材生产钢筋 根据以往的资料分析知道这种钢筋的强度服从正态分布现随机抽取 9 根 钢筋进行试验测得强度数据的样本均值51.5 样本标准差为 2.47 ( 1 ) 能否认为这种钢筋的平均 强度 52 , 检验水平 a = 0.05 ; ( 2 ) 求该总体均值的置信度为 0.95 的双侧置信区间

步骤 1：提出假设
假设总体均值为 $\mu$，根据题意，我们提出原假设 ${H}_{0}:\mu =52$ 和备择假设 ${H}_{1}:\mu \neq 52$。检验水平为 $\alpha =0.05$。

步骤 2：计算检验统计量
由于样本量较小（$n=9$），且总体标准差未知，我们使用 t 检验。检验统计量为：
$$
t = \frac{\overline{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}
$$
其中，$\overline{x} = 51.5$，$\mu_0 = 52$，$s = 2.47$，$n = 9$。代入数据计算得：
$$
t = \frac{51.5 - 52}{2.47 / \sqrt{9}} = \frac{-0.5}{2.47 / 3} = \frac{-0.5}{0.8233} \approx -0.6072
$$

步骤 3：确定临界值并进行判断
自由度 $df = n - 1 = 8$，检验水平 $\alpha = 0.05$，双侧检验，查 t 分布表得临界值 ${t}_{0.025}(8) = 2.3$。由于 $|t| = 0.6072 < 2.3$，落在接受域内，故不能拒绝原假设 ${H}_{0}$，即认为这种钢筋的平均强度为 52。

步骤 4：计算置信区间
总体均值的置信度为 0.95 的双侧置信区间为：
$$
\overline{x} \pm t_{\alpha/2}(n-1) \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}
$$
代入数据计算得：
$$
51.5 \pm 2.3 \cdot \frac{2.47}{\sqrt{9}} = 51.5 \pm 2.3 \cdot 0.8233 = 51.5 \pm 1.8936
$$
即置信区间为 $(51.5 - 1.8936, 51.5 + 1.8936) = (49.6064, 53.3936)$。