题目
已知某批钢球的直径服从正态分布，从中抽取容量为=25的简单随机样本，测得=25（单位：=25），则总体均值=25的置信度为=25的置信区间为__________( 结果保留两位小数 )。 ( 附：=25）
已知某批钢球的直径服从正态分布，从中抽取容量为
的简单随机样本，测得
（单位：
），则总体均值
的置信度为
的置信区间为__________( 结果保留两位小数 )。 ( 附：
）
题目解答
答案
因为总体均值的置信度为，故置信水平为
，可得
，又因为样本容量为，，所以置信区间为
，因为
，所以
，所以答案为
。
解析
步骤 1：确定置信水平和自由度
置信度为${56}^{\circ }C$，即置信水平为$1-\alpha =0.95$，因此$\alpha =0.05$。样本容量为$z=25$，因此自由度为$n-1=24$。
步骤 2：计算置信区间
总体均值的置信区间为$(\overline {X}-\dfrac {S}{\sqrt {n}}{t}_{\dfrac {\alpha }{2}}(n-1)$ $\overline {X}+\dfrac {S}{\sqrt {n}}{t}_{\dfrac {\alpha }{2}}(n-1))$，其中$\overline {X}=38$，$S=2$，$n=25$，${t}_{\dfrac {\alpha }{2}}(n-1)={t}_{0.025}(24)=2.6039$。
步骤 3：代入数值计算
$(38-\dfrac {2}{\sqrt {25}}\times 2.6039,38+\dfrac {2}{\sqrt {25}}\times 2.6039)$
$=(38-\dfrac {2}{5}\times 2.6039,38+\dfrac {2}{5}\times 2.6039)$
$=(38-1.04156,38+1.04156)$
$=(36.95844,39.04156)$
保留两位小数，得到置信区间为$(36.96,39.04)$。
置信度为${56}^{\circ }C$，即置信水平为$1-\alpha =0.95$，因此$\alpha =0.05$。样本容量为$z=25$，因此自由度为$n-1=24$。
步骤 2：计算置信区间
总体均值的置信区间为$(\overline {X}-\dfrac {S}{\sqrt {n}}{t}_{\dfrac {\alpha }{2}}(n-1)$ $\overline {X}+\dfrac {S}{\sqrt {n}}{t}_{\dfrac {\alpha }{2}}(n-1))$，其中$\overline {X}=38$，$S=2$，$n=25$，${t}_{\dfrac {\alpha }{2}}(n-1)={t}_{0.025}(24)=2.6039$。
步骤 3：代入数值计算
$(38-\dfrac {2}{\sqrt {25}}\times 2.6039,38+\dfrac {2}{\sqrt {25}}\times 2.6039)$
$=(38-\dfrac {2}{5}\times 2.6039,38+\dfrac {2}{5}\times 2.6039)$
$=(38-1.04156,38+1.04156)$
$=(36.95844,39.04156)$
保留两位小数，得到置信区间为$(36.96,39.04)$。