题目
设 x sim (Bernoulli)(p)，对 X 进行观测，得到样本值 0,1,0,1,1，则 p 的最大似然估计值 ()。A. 1B. 0.3C. 0.6D. 0.8
设 $x \sim \text{Bernoulli}(p)$，对 $X $进行观测，得到样本值 $0,1,0,1,1$，则 $p $的最大似然估计值 ()。
A. 1
B. 0.3
C. 0.6
D. 0.8
题目解答
答案
C. 0.6
解析
步骤 1：理解问题背景
题目中提到 $x \sim \text{Bernoulli}(p)$，表示 $x$ 是一个伯努利随机变量，其取值为 0 或 1，且取 1 的概率为 $p$，取 0 的概率为 $1-p$。给定的样本值为 $0,1,0,1,1$，我们需要根据这些样本值来估计 $p$ 的最大似然估计值。
步骤 2：计算似然函数
似然函数 $L(p)$ 是在给定样本值的情况下，$p$ 的概率。对于伯努利分布，似然函数可以表示为：
$$ L(p) = p^{x_1} (1-p)^{1-x_1} \times p^{x_2} (1-p)^{1-x_2} \times \cdots \times p^{x_n} (1-p)^{1-x_n} $$
其中，$x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是样本值。对于给定的样本值 $0,1,0,1,1$，似然函数可以简化为：
$$ L(p) = (1-p)^2 \times p^3 $$
步骤 3：求解最大似然估计值
为了找到 $p$ 的最大似然估计值，我们需要对似然函数 $L(p)$ 求导，并找到导数为 0 的点。对 $L(p)$ 求导，得到：
$$ \frac{dL(p)}{dp} = 3p^2(1-p)^2 - 2p^3(1-p) $$
令导数等于 0，得到：
$$ 3p^2(1-p)^2 - 2p^3(1-p) = 0 $$
化简得到：
$$ p^2(1-p)(3(1-p) - 2p) = 0 $$
解得 $p = 0$ 或 $p = 1$ 或 $p = 3/5$。由于 $p$ 是概率，其取值范围为 $[0,1]$，因此 $p = 0$ 或 $p = 1$ 不是合理解。因此，最大似然估计值为 $p = 3/5 = 0.6$。
题目中提到 $x \sim \text{Bernoulli}(p)$，表示 $x$ 是一个伯努利随机变量，其取值为 0 或 1，且取 1 的概率为 $p$，取 0 的概率为 $1-p$。给定的样本值为 $0,1,0,1,1$，我们需要根据这些样本值来估计 $p$ 的最大似然估计值。
步骤 2：计算似然函数
似然函数 $L(p)$ 是在给定样本值的情况下，$p$ 的概率。对于伯努利分布，似然函数可以表示为：
$$ L(p) = p^{x_1} (1-p)^{1-x_1} \times p^{x_2} (1-p)^{1-x_2} \times \cdots \times p^{x_n} (1-p)^{1-x_n} $$
其中，$x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是样本值。对于给定的样本值 $0,1,0,1,1$，似然函数可以简化为：
$$ L(p) = (1-p)^2 \times p^3 $$
步骤 3：求解最大似然估计值
为了找到 $p$ 的最大似然估计值，我们需要对似然函数 $L(p)$ 求导，并找到导数为 0 的点。对 $L(p)$ 求导，得到：
$$ \frac{dL(p)}{dp} = 3p^2(1-p)^2 - 2p^3(1-p) $$
令导数等于 0，得到：
$$ 3p^2(1-p)^2 - 2p^3(1-p) = 0 $$
化简得到：
$$ p^2(1-p)(3(1-p) - 2p) = 0 $$
解得 $p = 0$ 或 $p = 1$ 或 $p = 3/5$。由于 $p$ 是概率，其取值范围为 $[0,1]$，因此 $p = 0$ 或 $p = 1$ 不是合理解。因此，最大似然估计值为 $p = 3/5 = 0.6$。