题目
设一批零件的长度服从正态分布(mu ,(sigma )^2)，其中(mu ,(sigma )^2)均未知。现从中随机抽取 16 个 零件测得样本均值(mu ,(sigma )^2)，样本标准差 s = 1 ( cm )，则μ的置信度为 0.90 的置信区间是（）。(mu ,(sigma )^2)(mu ,(sigma )^2)(mu ,(sigma )^2)(mu ,(sigma )^2)
设一批零件的长度服从正态分布
，其中
均未知。现从中随机抽取 16 个 零件测得样本均值
，样本标准差 s = 1 ( cm )，则μ的置信度为 0.90 的置信区间是（）。
题目解答
答案
解：
∵均未知
∴统计量采用t分布
又∵
带入题中数值得：
由题意有
求解得：
即置信区间为
解析
步骤 1：确定统计量
由于总体均值$\mu$和标准差$\sigma$均未知，且样本量$n=16$，因此使用t分布作为统计量。统计量为$\dfrac {\overline {X}-\mu }{s/\sqrt {n}}$，其中$\overline {X}$是样本均值，$s$是样本标准差，$n$是样本量。
步骤 2：计算统计量
将题目中给出的样本均值$\overline {X}=10$，样本标准差$s=1$，样本量$n=16$代入统计量公式，得到$\dfrac {10-\mu }{1/\sqrt {16}}$，即$\dfrac {10-\mu }{1/4}$。
步骤 3：确定置信区间
置信度为0.90，即$\alpha=0.1$，自由度为$n-1=15$。根据t分布表，查得$t_{0.05}(15)$。置信区间为$\mu$在$\overline {X}\pm t_{0.05}(15)\cdot \dfrac {s}{\sqrt {n}}$范围内，即$10\pm \dfrac {1}{4}t_{0.05}(15)$。
由于总体均值$\mu$和标准差$\sigma$均未知，且样本量$n=16$，因此使用t分布作为统计量。统计量为$\dfrac {\overline {X}-\mu }{s/\sqrt {n}}$，其中$\overline {X}$是样本均值，$s$是样本标准差，$n$是样本量。
步骤 2：计算统计量
将题目中给出的样本均值$\overline {X}=10$，样本标准差$s=1$，样本量$n=16$代入统计量公式，得到$\dfrac {10-\mu }{1/\sqrt {16}}$，即$\dfrac {10-\mu }{1/4}$。
步骤 3：确定置信区间
置信度为0.90，即$\alpha=0.1$，自由度为$n-1=15$。根据t分布表，查得$t_{0.05}(15)$。置信区间为$\mu$在$\overline {X}\pm t_{0.05}(15)\cdot \dfrac {s}{\sqrt {n}}$范围内，即$10\pm \dfrac {1}{4}t_{0.05}(15)$。