17.计算定积分int_(-1)^4(x^3)/(1+x^2)dx

本题考查定积分的计算，解题思路是先对被积函数进行分解，然后分别对分解后的两个函数进行定积分计算，最后将两个定积分的结果相减得到最终答案。

1. 分解被积函数：
   对$\frac{x^3}{1 + x^2}$进行分解，通过多项式除法可得$\frac{x^3}{1 + x^2}=x-\frac{x}{1 + x^2}$。
2. 计算$\int_{-1}^{4} x \, dx$：
   根据定积分的基本公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n + 1}+C$（$n\neq -1$），对于$\int_{-1}^{4} x \, dx$，有：
   $\int_{-1}^{4} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{4}$
   将上限$4$和下限$-1$代入$\frac{x^2}{2}$可得：
   $\frac{4^2}{2}-\frac{(-1)^2}{2}=\frac{16}{2}-\frac{1}{2}=\frac{15}{2}$
3. 计算$\int_{-1}^{4} \frac{x}{1 + x^2} \, dx$：
   使用换元法，令$u = 1 + x^2$，则$du = 2x \, dx$，即$x \, dx = \frac{1}{2} du$。
   当$x = -1$时，$u = 1 + (-1)^2 = 2$；当$x = 4$时，$u = 1 + 4^2 = 17$。
   所以$\int_{-1}^{4} \frac{x}{1 + x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int_{2}^{17} \frac{1}{u} \, du$。
   根据定积分公式$\int \frac{1}{u} du=\ln|u|+C$，可得：
   $\frac{1}{2} \int_{2}^{17} \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{2} [\ln u]_{2}^{17}$
   将上限$17$和下限$2$代入$\ln u$可得：
   $\frac{1}{2}(\ln 17 - \ln 2)=\frac{1}{2} \ln \frac{17}{2}$
4. 计算最终结果：
   $\int_{-1}^{4}\frac{x^{3}}{1+x^{2}}dx=\int_{-1}^{4} x \, dx - \int_{-1}^{4} \frac{x}{1 + x^2} \, dx=\frac{15}{2} - \frac{1}{2} \ln \frac{17}{2}$