2.(10分)计算器在进行数值计算时，对小数点后第一位四舍五入。假定所有舍入误差相互独立且在(-0.5,0.5)上服从均匀分布。求1200个数相加时误差总和的绝对值小于10的概率。(Φ(1)=0.8413)

考查要点：本题主要考查中心极限定理的应用、正态分布近似计算以及均匀分布的性质。
解题思路：

1. 确定单个误差的分布：每个舍入误差服从均匀分布，计算其期望和方差。
2. 总误差的分布：利用中心极限定理，将独立同分布的误差和近似为正态分布。
3. 标准化与概率计算：将总误差标准化为标准正态分布，结合已知的Φ(1)值求解概率。
   关键点：

• 均匀分布的方差公式：$D(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$。
• 中心极限定理的应用条件及正态分布参数的计算。
• 标准正态分布的对称性：利用Φ(1)快速计算区间概率。

步骤1：确定单个误差的分布参数

每个舍入误差 $X_i$ 在 $(-0.5, 0.5)$ 上服从均匀分布：

• 期望：$E(X_i) = \frac{-0.5 + 0.5}{2} = 0$。
• 方差：$D(X_i) = \frac{(0.5 - (-0.5))^2}{12} = \frac{1}{12}$。

步骤2：计算总误差的分布参数

总误差 $S = \sum_{i=1}^{1200} X_i$：

• 期望：$E(S) = 1200 \times 0 = 0$。
• 方差：$D(S) = 1200 \times \frac{1}{12} = 100$，标准差为 $\sqrt{100} = 10$。
• 近似分布：由中心极限定理，$S \sim N(0, 100)$。

步骤3：标准化与概率计算

将 $S$ 标准化为 $Z = \frac{S - E(S)}{\sqrt{D(S)}} = \frac{S}{10}$，则 $Z \sim N(0, 1)$。
要求 $P(|S| < 10)$，即：
$P(-10 < S < 10) = P\left(-1 < \frac{S}{10} < 1\right) = P(-1 < Z < 1).$
利用标准正态分布性质：
$P(-1 < Z < 1) = \Phi(1) - \Phi(-1) = 2[\Phi(1) - 0.5] = 2 \times (0.8413 - 0.5) = 0.6826.$