题目

下列关于复变函数 f(z) = z^2 的几何表示，函数将复平面上的直线 y = x 映射为 ____。

下列关于复变函数 $f(z) = z^2$ 的几何表示，函数将复平面上的直线 $y = x$ 映射为 ____。

题目解答

答案

设 $ z = x + iy $，对于直线 $ y = x $，有 $ z = x + ix $。代入函数 $ f(z) = z^2 $，得
$f(z) = (x + ix)^2 = x^2 + 2ix^2 - x^2 = 2ix^2.$
设 $ w = u + iv $，则 $ u = 0 $，$ v = 2x^2 \geq 0 $。
因此，$ w $ 的轨迹为虚轴的非负部分，即 $ u = 0 $ 且 $ v \geq 0 $。

答案：
$\boxed{v \geq 0, u = 0}$（或$\boxed{\text{虚轴的非负部分}}$）

解析

本题考查复变函数的几何映射，解题思路是先将直线方程用复数形式表示，再代入复变函数，最后通过复数的实部和虚部确定映射后的轨迹。

  1. 将直线方程用复数形式表示：
    已知直线方程为$y = x$，设$z = x + iy$，将$y = x$代入可得$z = x + ix$。
  2. 代入复变函数进行计算：
    已知复变函数$f(z) = z^2$，将$z = x + ix$代入函数可得：
    $\begin{align*}f(z)&=(x + ix)^2\\&=x^2 + 2ix^2 + (ix)^2\\&=x^2 + 2ix^2 - x^2\\&= 2ix^2\end{align*}$
  3. 确定映射后的轨迹：
    设$w = u + iv$，由$f(z)= 2ix^2$可知$u = 0$，$v = 2x^2$。
    因为$x^2\geq0$，所以$v = 2x^2\geq0$。
    因此，$w$的轨迹为虚轴的非负部分，即$u = 0$且$v \geq 0$。