题目
15.12 (仅数学一、数学二)设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l:y=y(x)与直线y=x相切于原点.记α为曲线l在点(x,y)处切线的倾角，若(dalpha)/(dx)=(dy)/(dx)，求y(x)的表达式.
15.12 (仅数学一、数学二)设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l:y=y(x)与直线y=x相切于原点.记α为曲线l在点(x,y)处切线的倾角，若$\frac{d\alpha}{dx}=\frac{dy}{dx}$，求y(x)的表达式.
题目解答
答案
设 $y' = p$，则由题意得：
\[
\frac{y''}{1 + (y')^2} = y' \implies \frac{dp}{dx} = p(1 + p^2).
\]
分离变量并积分：
\[
\int \frac{dp}{p(1 + p^2)} = \int dx \implies \ln \left| \frac{p}{\sqrt{1 + p^2}} \right| = x + C_1.
\]
由 $y'(0) = 1$，解得 $C_1 = -\frac{\pi}{4}$，从而：
\[
p = \frac{e^x}{\sqrt{2 - e^{2x}}}.
\]
积分得：
\[
y = \int \frac{e^x}{\sqrt{2 - e^{2x}}} \, dx = \arcsin \frac{e^x}{\sqrt{2}} + C_2.
\]
由 $y(0) = 0$，解得 $C_2 = -\frac{\pi}{4}$，故：
\[
\boxed{\arcsin \frac{e^x}{\sqrt{2}} - \frac{\pi}{4}}.
\]
解析
步骤 1：引入变量
设 $y' = p$，即 $y'(x) = p(x)$，则 $y'' = p'$。
步骤 2：建立微分方程
由题意知 $\frac{d\alpha}{dx} = \frac{dy}{dx}$，而 $\alpha$ 是曲线 $y = y(x)$ 在点 $(x, y)$ 处切线的倾角，所以 $\tan \alpha = y'$。因此，$\frac{d\alpha}{dx} = \frac{d}{dx}(\arctan y') = \frac{y''}{1 + (y')^2} = \frac{p'}{1 + p^2}$。根据题意，$\frac{p'}{1 + p^2} = p$，即 $p' = p(1 + p^2)$。
步骤 3：分离变量并积分
分离变量得 $\frac{dp}{p(1 + p^2)} = dx$。积分得 $\int \frac{dp}{p(1 + p^2)} = \int dx$。左边积分可得 $\ln \left| \frac{p}{\sqrt{1 + p^2}} \right| = x + C_1$。
步骤 4：确定常数
由 $y'(0) = 1$，即 $p(0) = 1$，代入上式得 $C_1 = -\frac{\pi}{4}$。因此，$\ln \left| \frac{p}{\sqrt{1 + p^2}} \right| = x - \frac{\pi}{4}$，解得 $p = \frac{e^x}{\sqrt{2 - e^{2x}}}$。
步骤 5：积分求解 $y(x)$
积分 $y = \int \frac{e^x}{\sqrt{2 - e^{2x}}} \, dx$。令 $u = e^x$，则 $du = e^x dx$，积分变为 $y = \int \frac{du}{\sqrt{2 - u^2}} = \arcsin \frac{u}{\sqrt{2}} + C_2 = \arcsin \frac{e^x}{\sqrt{2}} + C_2$。
步骤 6：确定常数 $C_2$
由 $y(0) = 0$，即 $0 = \arcsin \frac{1}{\sqrt{2}} + C_2$，解得 $C_2 = -\frac{\pi}{4}$。
设 $y' = p$，即 $y'(x) = p(x)$，则 $y'' = p'$。
步骤 2：建立微分方程
由题意知 $\frac{d\alpha}{dx} = \frac{dy}{dx}$，而 $\alpha$ 是曲线 $y = y(x)$ 在点 $(x, y)$ 处切线的倾角，所以 $\tan \alpha = y'$。因此，$\frac{d\alpha}{dx} = \frac{d}{dx}(\arctan y') = \frac{y''}{1 + (y')^2} = \frac{p'}{1 + p^2}$。根据题意，$\frac{p'}{1 + p^2} = p$，即 $p' = p(1 + p^2)$。
步骤 3：分离变量并积分
分离变量得 $\frac{dp}{p(1 + p^2)} = dx$。积分得 $\int \frac{dp}{p(1 + p^2)} = \int dx$。左边积分可得 $\ln \left| \frac{p}{\sqrt{1 + p^2}} \right| = x + C_1$。
步骤 4：确定常数
由 $y'(0) = 1$，即 $p(0) = 1$，代入上式得 $C_1 = -\frac{\pi}{4}$。因此，$\ln \left| \frac{p}{\sqrt{1 + p^2}} \right| = x - \frac{\pi}{4}$，解得 $p = \frac{e^x}{\sqrt{2 - e^{2x}}}$。
步骤 5：积分求解 $y(x)$
积分 $y = \int \frac{e^x}{\sqrt{2 - e^{2x}}} \, dx$。令 $u = e^x$，则 $du = e^x dx$，积分变为 $y = \int \frac{du}{\sqrt{2 - u^2}} = \arcsin \frac{u}{\sqrt{2}} + C_2 = \arcsin \frac{e^x}{\sqrt{2}} + C_2$。
步骤 6：确定常数 $C_2$
由 $y(0) = 0$，即 $0 = \arcsin \frac{1}{\sqrt{2}} + C_2$，解得 $C_2 = -\frac{\pi}{4}$。