设书籍上每页的印刷错误的个数 X 服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验 4 页，每页上都没有印刷错误的概率。

我们来逐步解决这个问题。

题目理解

设每页的印刷错误个数 $ X $ 服从泊松分布，记作：

$X \sim \text{Poisson}(\lambda)$

其中，$\lambda$ 是每页平均错误数。

题目给出：

• 有 一个错误 的页数 = 有 两个错误 的页数。

我们记：

• $P(X = 1)$：一页上有1个错误的概率；
• $P(X = 2)$：一页上有2个错误的概率。

由于页数相等，所以：

$P(X = 1) = P(X = 2)$

第一步：利用泊松分布公式

泊松分布的概率质量函数为：

$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

所以：

$P(X = 1) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^1}{1!} = e^{-\lambda} \lambda$

$P(X = 2) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2}$

根据题意：

$e^{-\lambda} \lambda = \frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2}$

两边同时除以 $e^{-\lambda}$（因为 $e^{-\lambda} > 0$）：

$\lambda = \frac{\lambda^2}{2}$

两边乘以 2：

$2\lambda = \lambda^2$

整理得：

$\lambda^2 - 2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda(\lambda - 2) = 0$

所以 $\lambda = 0$ 或 $\lambda = 2$

但 $\lambda = 0$ 表示没有错误，这与“有一页有1个错误”矛盾，所以：

$\lambda = 2$

第二步：求任意检验4页，每页都没有错误的概率

即求：

$P(X = 0)^4$

因为每页错误数独立，4页都没有错误的概率是每页都没有错误的概率的四次方。

我们先求 $P(X = 0)$：

$P(X = 0) = \frac{e^{-2} \cdot 2^0}{0!} = e^{-2}$

所以：

$P(\text{4页都无错误}) = (e^{-2})^4 = e^{-8}$

最终答案

$\boxed{e^{-8}}$

这是任意检验4页，每页都没有印刷错误的概率。