10.[单选题]设总体Xsim N(0,4^2)，(X_(1),X_(2),... X_(4))为来自总体X的简单随机样本，则k=（ ）时，Y=k[(X_(1)-X_(2))^2+(X_(3)-X_(4))^2]sim X^2(2).A. 16;B. 32;C. 1;D. (1)/(32);

本题考查卡方分布的定义及正态分布的性质，关键是将给定的统计量转化为标准正态分布的平方和形式，再根据卡方分布的定义确定系数$k$。

步骤1：分析样本的分布

总体$X\sim N(0,4^2)$，样本$X_1,X_2,X_3,X_4$是简单随机样本，因此每个$X_i\sim N(0,16)$（均值0，方差$4^2=16$），且样本间相互独立。

步骤2：构造独立的正态变量

考虑$A=X_1-X_2$和$B=X_3-X_4$，由于$X_1,X_2$独立，根据正态分布的线性组合性质：

• $A\sim N(0,\text{Var}(X_1)+\text{Var}(X_2))=N(0,16+16)=N(0,32)$
• 同理，$B\sim N(0,32)$
• $A$与$B$独立（因样本独立）。

步骤3：标准化为标准正态分布

对$A$和$B$标准化，得到：
$Z_1=\frac{A}{\sqrt{32}}=\frac{X_1-X_2}{\sqrt{32}}\sim N(0,1)$
$Z_2=\frac{B}{\sqrt{32}}=\frac{X_3-X_4}{\sqrt{32}}\sim N(0,1)$
且$Z_1$与$Z_2$独立。

步骤4：卡方分布的定义

卡方分布$\chi^2(n)$是$n$个独立标准正态变量的平方和。此处$n=2$，故：
$Z_1^2+Z_2^2\sim\chi^2(2)$

步骤5：求解系数$k$

将$Z_1,Z_2$代入平方和：
$Z_1^2+Z_2^2=\left(\frac{X_1-X_2}{\sqrt{32}}\right)^2+\left(\frac{X_3-X_4}{\sqrt{32}}\right)^2=\frac{1}{32}\left[(X_1-X_2)^2+(X_3-X_4)^2\right]$
对比$Y=k\left[(X_1-X_2)^2+(X_3的意义和性质_3-X_4)^2\right]$，得$k=\frac{1}{32}$。