int e^sqrt(x) dx = ( )A. 2e^sqrt(x)(sqrt(x)+1)+ CB. 2e^sqrt(x)(sqrt(x)-1)+ CC. e^sqrt(x)(sqrt(x)-1)+ CD. e^sqrt(x)(sqrt(x)+1)+ C

考查要点：本题主要考查换元积分法和分部积分法的综合应用，特别是处理含有指数函数与根号的不定积分。

解题核心思路：

1. 换元法：通过令$u = \sqrt{x}$，将原积分转化为关于$u$的积分，简化计算。
2. 分部积分法：对转化后的积分$\int u e^u \, du$，选择适当的分部方式，逐步降次求解。
   关键点：正确选择换元变量和分部积分中的$u$与$dv$，确保每一步变形准确。

步骤1：变量替换
令$u = \sqrt{x}$，则$x = u^2$，$dx = 2u \, du$。代入原积分：
$\int e^{\sqrt{x}} \, dx = \int e^u \cdot 2u \, du = 2 \int u e^u \, du$

步骤2：分部积分法
对$\int u e^u \, du$，设$v = u$，$dw = e^u \, du$，则$dv = du$，$w = e^u$。根据分部积分公式：
$\int u e^u \, du = u e^u - \int e^u \, du = e^u (u - 1) + C$

步骤3：代回变量并整理
将结果代入原积分表达式：
$2 \int u e^u \, du = 2 e^u (u - 1) + C$
再将$u = \sqrt{x}$代回，得到最终结果：
$2 e^{\sqrt{x}} (\sqrt{x} - 1) + C$