设总体X sim N(mu, sigma^2)，X_1, X_2, ..., X_n为X的一个样本，当mu未知时，求sigma^2的区间估计所构造的样本函数为()。A. ((n-1)S^2)/(sigma^2) sim chi^2(n-1)B. (bar(X)-mu)/(sigma/sqrt(n)) sim t(n-1)C. (sum_(i=1)^n(X_i-mu)^2)/(sigma^2) sim chi^2(n)D. (bar(X)-mu)/(S/sqrt(n)) sim t(n-1)

本题考查正态总体方差$\sigma^2$区间估计中样本函数的构造，核心是区分不同统计量的分布及适用条件。

关键知识点回顾

当总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$且$\mu$未知时，估计$\sigma^2$需构造不含$\mu$的样本函数：
样本方差$S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$，其中$\bar{X}$为样本均值。
根据抽样分布理论，有$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，这是$\chi^2$分布的重要应用，且自由度为$n-1$（因样本均值$\bar{X}$占用了一个自由度）。

选项分析

• A. $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$：完全符合上述结论，是$\sigma^2$区间估计的核心样本函数。
• B. $\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$：错误，该统计量含未知参数$\sigma$，且当$\sigma$已知时服从$N(0,1)$，非$t$分布；即使$\sigma$未知，应为$\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$，但与$\sigma4+$无关。
• C. $\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n)$：错误，该式含未知参数$\mu$，仅当$\mu$已知时成立，不适用于$\mu$未知的区间估计。
• D. $\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$：错误，这是$\mu$未知时$\mu$的区间估计所用的$t$分布统计量，与$\sigma^2$估计无关。