题目
设备零件的重量都是随机变量。它们相互独立，服从相同的分布，其期望为0.5kg，方差为0.5kg²。问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？（φ(0.2)=0.5793）
设备零件的重量都是随机变量。它们相互独立，服从相同的分布，其期望为0.5kg，方差为0.5kg²。问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？（φ(0.2)=0.5793）
题目解答
答案
为了确定5000只零件的总重量超过2510kg的概率，我们可以使用中心极限定理。中心极限定理指出，大量独立同分布的随机变量的和的分布近似于正态分布。
设 $ X_i $ 为第 $ i $ 个零件的重量。已知 $ E(X_i) = 0.5 $ kg 和 $ \text{Var}(X_i) = 0.25 $ kg²。5000只零件的总重量为 $ S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{5000} $。
总重量 $ S $ 的期望和方差为：
\[ E(S) = E(X_1 + X_2 + \cdots + X_{5000}) = 5000 \cdot E(X_i) = 5000 \cdot 0.5 = 2500 \text{ kg} \]
\[ \text{Var}(S) = \text{Var}(X_1 + X_2 + \cdots + X_{5000}) = 5000 \cdot \text{Var}(X_i) = 5000 \cdot 0.25 = 1250 \text{ kg}^2 \]
总重量 $ S $ 的标准差为：
\[ \sigma_S = \sqrt{\text{Var}(S)} = \sqrt{1250} = 25\sqrt{2} \approx 35.36 \text{ kg} \]
我们想要找到 $ S $ 超过2510kg的概率。这可以表示为：
\[ P(S > 2510) \]
为了使用标准正态分布，我们对 $ S $ 进行标准化：
\[ P(S > 2510) = P\left( \frac{S - E(S)}{\sigma_S} > \frac{2510 - 2500}{25\sqrt{2}} \right) = P\left( Z > \frac{10}{25\sqrt{2}} \right) \]
其中 $ Z $ 是标准正态随机变量。简化 $ Z $ 的表达式：
\[ \frac{10}{25\sqrt{2}} = \frac{10}{25 \cdot 1.414} \approx \frac{10}{35.36} \approx 0.2 \]
因此，我们需要找到 $ P(Z > 0.2) $。使用标准正态分布表，我们发现：
\[ P(Z \leq 0.2) = \phi(0.2) = 0.5793 \]
\[ P(Z > 0.2) = 1 - P(Z \leq 0.2) = 1 - 0.5793 = 0.4207 \]
因此，5000只零件的总重量超过2510kg的概率是：
\[ \boxed{0.4207} \]
解析
本题考查中心极限定理的应用。解题思路是先根据已知条件确定单个零件重量的期望和方差，再利用独立同分布随机变量和的期望与方差性质求出$5000$只零件总重量的期望和方差，接着对总重量进行标准化处理，最后结合标准正态分布表计算出总重量超过$2510kg$的概率。
- 确定单个零件重量的期望和方差：
设$X_i$为第$i$个零件的重量，已知$E(X_i)=0.5kg$，$Var(X_i)=0.25kg^2$。 - 计算$5000$只零件总重量的期望和方差：
设$S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{5000}$为$5000$只零件的总重量。
根据期望的性质：若$X_1,X_2,\cdots,X_n$相互独立，则$E(X_1 + X_2 + \cdots + X_n)=E(X_1)+E(X_2)+\cdots+E(X_n)$，可得：
$E(S)=E(X_1 + X_2 + \cdots + X_{5000}) = 5000\times E(X_i)=5000\times0.5 = 2500kg$
根据方差的性质：若$X_1,X_2,\cdots,X_n$相互独立，则$Var(X_1 + X_2 + \cdots + X_n)=Var(X_1)+Var(X_2)+\cdots+Var(X_n)$，可得：
$Var(S)=Var(X_1 + X_2 + \cdots + X_{5000}) = 5000\times Var(X_i)=5000\times0.25 = 1250kg^2$ - 计算总重量的标准差：
总重量$S$的标准差$\sigma_S = \sqrt{Var(S)} = \sqrt{1250} = 25\sqrt{2}\approx35.36kg$。 - 对总重量进行标准化处理：
我们要计算$P(S > 2510)$，根据标准化公式$Z=\frac{S - E(S)}{\sigma_S}$，可得：
$P(S > 2510) = P\left(\frac{S - E(S)}{\sigma_S} > \frac{2510 - 2500}{25\sqrt{2}}\right)=P\left(Z > \frac{10}{25\sqrt{2}}\right)$
其中$Z$是标准正态随机变量。
化简$\frac{10}{25\sqrt{2}}$：
$\frac{10}{25\sqrt{2}}=\frac{10}{25\times1.414}\approx\frac{10}{35.36}\approx0.2$
所以$P(S > 2510)=P(Z > 0.2)$。 - 计算概率：
根据标准正态分布的性质$P(Z > 0.2)=1 - P(Z\leq0.2)$，已知$\phi(0.2)=P(Z\leq0.2)=0.5793$，则：
$P(Z > 0.2)=1 - 0.5793 = 0.4207$