题目
设α1,α2,β1,β2均为3维列向量, =((alpha )_(1),(alpha )_(2),(beta )_(1)) , =((alpha )_(1),(alpha )_(2),(beta )_(2))-|||-=((alpha )_(1),(alpha )_(2),(beta )_(1)+(beta )_(2)) ,且 |A|=1 , |B|=2 ,则 |c|=() , |A+B|=()
题目解答
答案
解析见答案
|C| = |α1,α2,β1+β2| = |α1,α2,β1| + |α1,α2,β2| = |A| + |B| = 1+2 = 3.|A+B| = |α1+α1,α2+α2,β1+β2| = 2|α1+α2,β1+β2| = 2|α1,β1+β2| + 2|α2,β1+β2| = 2|α1,β1,+β2| + 2|α1,α2,β2| = 2|α1,α2,β1| + 2|α1,α2,β2| = 2|A| + 2|B| = 2(1+2) = 6.
|C| = |α1,α2,β1+β2| = |α1,α2,β1| + |α1,α2,β2| = |A| + |B| = 1+2 = 3.|A+B| = |α1+α1,α2+α2,β1+β2| = 2|α1+α2,β1+β2| = 2|α1,β1+β2| + 2|α2,β1+β2| = 2|α1,β1,+β2| + 2|α1,α2,β2| = 2|α1,α2,β1| + 2|α1,α2,β2| = 2|A| + 2|B| = 2(1+2) = 6.
解析
步骤 1：计算 |C|
根据行列式的性质，行列式中某一行（或列）的元素可以表示为两个向量的和，那么这个行列式可以拆分为两个行列式的和。因此，我们有：
\[ |C| = |(\alpha_1, \alpha_2, \beta_1 + \beta_2)| = |(\alpha_1, \alpha_2, \beta_1)| + |(\alpha_1, \alpha_2, \beta_2)| \]
根据题目条件，我们已知：
\[ |A| = |(\alpha_1, \alpha_2, \beta_1)| = 1 \]
\[ |B| = |(\alpha_1, \alpha_2, \beta_2)| = 2 \]
所以：
\[ |C| = |A| + |B| = 1 + 2 = 3 \]
步骤 2：计算 |A+B|
首先，我们计算矩阵 A+B 的形式：
\[ A+B = (\alpha_1, \alpha_2, \beta_1) + (\alpha_1, \alpha_2, \beta_2) = (2\alpha_1, 2\alpha_2, \beta_1 + \beta_2) \]
根据行列式的性质，如果行列式中某一行（或列）的所有元素都乘以同一个数 k，那么行列式的值也乘以 k。因此，我们有：
\[ |A+B| = |(2\alpha_1, 2\alpha_2, \beta_1 + \beta_2)| = 2^2 |(\alpha_1, \alpha_2, \beta_1 + \beta_2)| = 4|C| \]
根据步骤 1 的结果，我们已知 |C| = 3，所以：
\[ |A+B| = 4 \times 3 = 12 \]
根据行列式的性质，行列式中某一行（或列）的元素可以表示为两个向量的和，那么这个行列式可以拆分为两个行列式的和。因此，我们有：
\[ |C| = |(\alpha_1, \alpha_2, \beta_1 + \beta_2)| = |(\alpha_1, \alpha_2, \beta_1)| + |(\alpha_1, \alpha_2, \beta_2)| \]
根据题目条件，我们已知：
\[ |A| = |(\alpha_1, \alpha_2, \beta_1)| = 1 \]
\[ |B| = |(\alpha_1, \alpha_2, \beta_2)| = 2 \]
所以：
\[ |C| = |A| + |B| = 1 + 2 = 3 \]
步骤 2：计算 |A+B|
首先，我们计算矩阵 A+B 的形式：
\[ A+B = (\alpha_1, \alpha_2, \beta_1) + (\alpha_1, \alpha_2, \beta_2) = (2\alpha_1, 2\alpha_2, \beta_1 + \beta_2) \]
根据行列式的性质，如果行列式中某一行（或列）的所有元素都乘以同一个数 k，那么行列式的值也乘以 k。因此，我们有：
\[ |A+B| = |(2\alpha_1, 2\alpha_2, \beta_1 + \beta_2)| = 2^2 |(\alpha_1, \alpha_2, \beta_1 + \beta_2)| = 4|C| \]
根据步骤 1 的结果，我们已知 |C| = 3，所以：
\[ |A+B| = 4 \times 3 = 12 \]