题目

11.计算题设随机变量Xsim N(1,2^2)，已知标准正态分布值Phi(1)=0.8413，求概率P1leqslant Xleqslant 3。

11.计算题 设随机变量$X\sim N(1,2^{2})$，已知标准正态分布值 $\Phi(1)=0.8413$，求概率$P\{1\leqslant X\leqslant 3\}$。

题目解答

答案

为了求解概率 $ P\{1 \leqslant X \leqslant 3\} $，其中 $ X \sim N(1, 2^2) $，我们需要将 $ X $ 转换为标准正态变量 $ Z $。标准正态变量 $ Z $ 的定义为： \[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \] 其中，$ \mu $ 是 $ X $ 的均值，$ \sigma $ 是 $ X $ 的标准差。对于 $ X \sim N(1, 2^2) $，我们有 $ \mu = 1 $ 和 $ \sigma = 2 $。因此，标准正态变量 $ Z $ 为： \[ Z = \frac{X - 1}{2} \] 我们需要求 $ P\{1 \leqslant X \leqslant 3\} $。将 $ X $ 转换为 $ Z $，我们得到： \[ P\{1 \leqslant X \leqslant 3\} = P\left\{\frac{1 - 1}{2} \leqslant \frac{X - 1}{2} \leqslant \frac{3 - 1}{2}\right\} = P\{0 \leqslant Z \leqslant 1\} \] 标准正态分布函数 $ \Phi(z) $ 表示 $ P\{Z \leqslant z\} $。因此，我们有： \[ P\{0 \leqslant Z \leqslant 1\} = \Phi(1) - \Phi(0) \] 已知 $ \Phi(1) = 0.8413 $。对于 $ \Phi(0) $，我们知道标准正态分布关于0对称，所以 $ \Phi(0) = 0.5 $。因此： \[ P\{0 \leqslant Z \leqslant 1\} = 0.8413 - 0.5 = 0.3413 \] Thus, the answer is: \[ \boxed{0.3413} \]

解析

本题考查正态分布的概率计算，解题思路是先将一般正态分布随机变量转化为标准正态分布随机变量，再利用标准正态分布的性质和已知条件计算概率。

  1. 确定正态分布的参数：
    已知随机变量$X\sim N(1,2^{2})$，根据正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$的定义，可得均值$\mu = 1$，标准差$\sigma = 2$。
  2. 进行标准化变换：
    设标准正态变量$Z=\frac{X - \mu}{\sigma}$，将$\mu = 1$，$\sigma = 2$代入可得$Z = \frac{X - 1}{2}$。
    要求$P\{1\leqslant X\leqslant 3\}$，对不等式进行标准化变换：
    $\begin{align*}P\{1\leqslant X\leqslant 3\}&=P\left\{\frac{1 - 1}{2}\leqslant\frac{X - 1}{2}\leqslant\frac{3 - 1}{2}\right\}\\&=P\{0\leqslant Z\leqslant 1\}\end{align*}$
  3. 利用标准正态分布函数计算概率：
    标准正态分布函数$\varPhi(z)$表示$P\{Z\leqslant z\}$，根据概率的性质可得$P\{0\leqslant Z\leqslant 1\}=\varPhi(1)-\varPhi(0)$。
    已知$\varPhi(1)=0.8413$，又因为标准正态分布关于$0$对称，所以$\varPhi(0)={1}{2}=0.5$。
  4. 计算最终结果：
    将$\varPhi(1)=0.8413$，$\varPhi(0)=0.5$代入$P\{0\leqslant Z\leqslant 1\}=\varPhi(1)-\varPhi(0)$可得：
    $P\{0\leqslant Z\leqslant 1\}=0.8413 - 0.5 = 0.3413$