题目
设随机变量 X sim N(2, sigma^2)，且 P2 A. 0.8B. 0.2C. 0.5D. 0.4
设随机变量 $X \sim N(2, \sigma^2)$，且 $P\{2 < X < 4\} = 0.3$，则 $P\{X < 0\} = ($. (\Phi(0)= 0.5)$
A. 0.8
B. 0.2
C. 0.5
D. 0.4
题目解答
答案
B. 0.2
解析
步骤 1：标准化随机变量
给定 $X \sim N(2, \sigma^2)$，我们首先将 $X$ 标准化，即转换为标准正态分布 $Z$。标准化公式为 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，其中 $\mu = 2$ 是均值，$\sigma$ 是标准差。因此，$Z = \frac{X - 2}{\sigma}$。
步骤 2：计算 $P\{2 < X < 4\}$
根据题目，$P\{2 < X < 4\} = 0.3$。将 $X$ 标准化后，我们有 $P\left\{0 < \frac{X-2}{\sigma} < \frac{2}{\sigma}\right\} = 0.3$。这可以写成 $\Phi\left(\frac{2}{\sigma}\right) - \Phi(0) = 0.3$，其中 $\Phi$ 是标准正态分布的累积分布函数。由于 $\Phi(0) = 0.5$，我们得到 $\Phi\left(\frac{2}{\sigma}\right) - 0.5 = 0.3$，从而 $\Phi\left(\frac{2}{\sigma}\right) = 0.8$。
步骤 3：计算 $P\{X < 0\}$
现在，我们需要计算 $P\{X < 0\}$。同样地，我们标准化 $X$，得到 $P\left\{\frac{X-2}{\sigma} < -\frac{2}{\sigma}\right\}$。这可以写成 $\Phi\left(-\frac{2}{\sigma}\right)$。由于标准正态分布是关于 $0$ 对称的，我们有 $\Phi\left(-\frac{2}{\sigma}\right) = 1 - \Phi\left(\frac{2}{\sigma}\right)$。根据步骤 2，$\Phi\left(\frac{2}{\sigma}\right) = 0.8$，因此 $\Phi\left(-\frac{2}{\sigma}\right) = 1 - 0.8 = 0.2$。
给定 $X \sim N(2, \sigma^2)$，我们首先将 $X$ 标准化，即转换为标准正态分布 $Z$。标准化公式为 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，其中 $\mu = 2$ 是均值，$\sigma$ 是标准差。因此，$Z = \frac{X - 2}{\sigma}$。
步骤 2：计算 $P\{2 < X < 4\}$
根据题目，$P\{2 < X < 4\} = 0.3$。将 $X$ 标准化后，我们有 $P\left\{0 < \frac{X-2}{\sigma} < \frac{2}{\sigma}\right\} = 0.3$。这可以写成 $\Phi\left(\frac{2}{\sigma}\right) - \Phi(0) = 0.3$，其中 $\Phi$ 是标准正态分布的累积分布函数。由于 $\Phi(0) = 0.5$，我们得到 $\Phi\left(\frac{2}{\sigma}\right) - 0.5 = 0.3$，从而 $\Phi\left(\frac{2}{\sigma}\right) = 0.8$。
步骤 3：计算 $P\{X < 0\}$
现在，我们需要计算 $P\{X < 0\}$。同样地，我们标准化 $X$，得到 $P\left\{\frac{X-2}{\sigma} < -\frac{2}{\sigma}\right\}$。这可以写成 $\Phi\left(-\frac{2}{\sigma}\right)$。由于标准正态分布是关于 $0$ 对称的，我们有 $\Phi\left(-\frac{2}{\sigma}\right) = 1 - \Phi\left(\frac{2}{\sigma}\right)$。根据步骤 2，$\Phi\left(\frac{2}{\sigma}\right) = 0.8$，因此 $\Phi\left(-\frac{2}{\sigma}\right) = 1 - 0.8 = 0.2$。