题目

5.设X_(n)表示将一枚均匀硬币随意抛掷n次“正面”出现的次数，Phi(x)为标准正态分布函数，则(A) lim_(ntoinfty)P(X_{n)-n)/(sqrt(n))leq x}=Phi(x)(B) lim_(ntoinfty)P(2X_{n)-n)/(sqrt(n))leq x}=Phi(x)(C) lim_(ntoinfty)P(X_{n)-2n)/(sqrt(n))leq x}=Phi(x)(D) lim_(ntoinfty)P(2X_{n)-2n)/(sqrt(n))leq x}=Phi(x)

5.设$X_{n}$表示将一枚均匀硬币随意抛掷n次“正面”出现的次数，$\Phi(x)$为标准正态分布函数，则 (A) $\lim_{n\to\infty}P\left\{\frac{X_{n}-n}{\sqrt{n}}\leq x\right\}=\Phi(x)$ (B) $\lim_{n\to\infty}P\left\{\frac{2X_{n}-n}{\sqrt{n}}\leq x\right\}=\Phi(x)$ (C) $\lim_{n\to\infty}P\left\{\frac{X_{n}-2n}{\sqrt{n}}\leq x\right\}=\Phi(x)$ (D) $\lim_{n\to\infty}P\left\{\frac{2X_{n}-2n}{\sqrt{n}}\leq x\right\}=\Phi(x)$

题目解答

答案

由题意，$X_n$ 服从二项分布 $B(n, \frac{1}{2})$，其期望 $E(X_n) = \frac{n}{2}$，方差 $D(X_n) = \frac{n}{4}$。根据中心极限定理，当 $n$ 趋近于无穷大时，标准化变量 $\frac{X_n - \frac{n}{2}}{\sqrt{\frac{n}{4}}}$ 趋近于标准正态分布。化简得： \[ \frac{X_n - \frac{n}{2}}{\frac{\sqrt{n}}{2}} = \frac{2X_n - n}{\sqrt{n}} \] 对应选项 (B)。其他选项期望或方差不匹配，故答案为 $\boxed{B}$。

解析

本题主要考察二项分布的中心极限定理应用。

步骤1：确定$X_n$的分布及数字特征

抛掷均匀硬币$n$次，“正面”出现次数$X_n$服从二项分布$B(n,p)$，其中$p=\frac{1}{2}$（正面概率）。

期望：$E(X_n)=np=\frac{n}{2}$
方差：$D(X_n)=np(1-p)=\frac{n}{4}$

步骤2：中心极限定理的标准化

中心极限定理指出：当$n\to\infty$时，$\frac{X_n - E(X_n)}{\sqrt{D(X_n)}}$近似服从标准正态分布$N(0,1)$。

代入$E(X_n)=\frac{n}{2}$和$D(X_n)=\frac{n}{4}$：
$\frac{X_n - \frac{n}{2}}{\sqrt{\frac{n}{4}}} = \frac{X_n - \frac{n}{2}}{\frac{\sqrt{n}}{2}} = \frac{2X_n - n}{\sqrt{n}}$

步骤3：匹配选项

上述标准化结果对应选项(B)：$\lim_{n\to\infty}P\left\{\frac{2X_n - n}{\sqrt{n}}\leq x\right\}=\Phi(x)$。

其他选项分析：

(A)：分子$X_n - n$未减去正确期望$\frac{n}{2}$；
(C)：分子$X_n - 2n$期望偏差过大；
(D)：分子$2X_n - 2n$等价于$2(X_n - n)$，仍未减去正确期望。