题目
设有甲乙两袋，甲袋中装有3只白球、2只红球，乙袋中装有2只白球、3只红球。今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取两球，问两球都为白球的概率是多少？
设有甲乙两袋，甲袋中装有3只白球、2只红球，乙袋中装有2只白球、3只红球。今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取两球，问两球都为白球的概率是多少？
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义事件
设事件 A= "从甲袋放入乙袋的是白球",事件 B= "从乙袋中取出两白球"。
步骤 2：计算事件A的概率
从甲袋中任取一球，有5种可能，其中3种是白球，所以 $P(A)=\dfrac {3}{5}$。
步骤 3：计算事件B在A发生时的概率
如果事件A发生，即从甲袋中取出的是白球，那么乙袋中将有3只白球和3只红球，共6只球。从乙袋中任取两球，有${C}_{6}^{2}$种可能，其中两球都为白球的有${C}_{3}^{2}$种可能，所以 $P(B|A)=\dfrac {{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{2}}=\dfrac {3}{15}=\dfrac {1}{5}$。
步骤 4：计算事件B在A不发生时的概率
如果事件A不发生，即从甲袋中取出的是红球，那么乙袋中将有2只白球和4只红球，共6只球。从乙袋中任取两球，有${C}_{6}^{2}$种可能，其中两球都为白球的有${C}_{2}^{2}$种可能，所以 $P(B|\overline{A})=\dfrac {{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}=\dfrac {1}{15}$。
步骤 5：计算事件B的概率
根据全概率公式，$P(B)=P(A)P(B|A)+P(\overline{A})P(B|\overline{A})$，其中$P(\overline{A})=1-P(A)=\dfrac {2}{5}$，所以$P(B)=\dfrac {3}{5}\times \dfrac {1}{5}+\dfrac {2}{5}\times \dfrac {1}{15}=\dfrac {3}{25}+\dfrac {2}{75}=\dfrac {11}{75}$。
设事件 A= "从甲袋放入乙袋的是白球",事件 B= "从乙袋中取出两白球"。
步骤 2：计算事件A的概率
从甲袋中任取一球，有5种可能，其中3种是白球，所以 $P(A)=\dfrac {3}{5}$。
步骤 3：计算事件B在A发生时的概率
如果事件A发生，即从甲袋中取出的是白球，那么乙袋中将有3只白球和3只红球，共6只球。从乙袋中任取两球，有${C}_{6}^{2}$种可能，其中两球都为白球的有${C}_{3}^{2}$种可能，所以 $P(B|A)=\dfrac {{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{2}}=\dfrac {3}{15}=\dfrac {1}{5}$。
步骤 4：计算事件B在A不发生时的概率
如果事件A不发生，即从甲袋中取出的是红球，那么乙袋中将有2只白球和4只红球，共6只球。从乙袋中任取两球，有${C}_{6}^{2}$种可能，其中两球都为白球的有${C}_{2}^{2}$种可能，所以 $P(B|\overline{A})=\dfrac {{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}=\dfrac {1}{15}$。
步骤 5：计算事件B的概率
根据全概率公式，$P(B)=P(A)P(B|A)+P(\overline{A})P(B|\overline{A})$，其中$P(\overline{A})=1-P(A)=\dfrac {2}{5}$，所以$P(B)=\dfrac {3}{5}\times \dfrac {1}{5}+\dfrac {2}{5}\times \dfrac {1}{15}=\dfrac {3}{25}+\dfrac {2}{75}=\dfrac {11}{75}$。