题目
117^0.证明:均匀分布 f(x)= { , 0lt xleqslant theta 0, . 中未知参数θ的最大似然估计量不是无偏-|||-估计.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义似然函数
从总体中抽取容量为n的样本X1,X2,X3,···Xn,观测值为x1,x2,···,xn,于是其似然函数为
$L(\theta )=$ $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{{\theta }^{n}},0\lt x\leqslant \theta (i=1,\cdots ,n)\\ 0,其他,\end{matrix} \right.$
步骤 2：求最大似然估计量
似然函数$L(\theta )$在$\theta$的取值范围内是关于$\theta$的单调递减函数，因此，似然函数$L(\theta )$的最大值在$\theta$的最小取值处取得，即$\theta$的最大似然估计量为$\hat {\theta }=max\{ {X}_{1},{X}_{2}$, ···· Xn}。
步骤 3：求最大似然估计量的期望
$\hat {\theta }$的概率密度${f}_{max}(x)=$ $\left \{ \begin{matrix} n(\dfrac {{x}^{n-1}}{{\theta }^{n}}),\quad 0\lt x\lt \theta \\ 0,\end{matrix} \right.$
因此，$\hat {\theta }$的期望为
$E(\hat {\theta })=\int_{0}^{\theta }x\cdot n(\dfrac {{x}^{n-1}}{{\theta }^{n}})dx=\dfrac {n}{n+1}\theta \neq \theta $。
从总体中抽取容量为n的样本X1,X2,X3,···Xn,观测值为x1,x2,···,xn,于是其似然函数为
$L(\theta )=$ $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{{\theta }^{n}},0\lt x\leqslant \theta (i=1,\cdots ,n)\\ 0,其他,\end{matrix} \right.$
步骤 2：求最大似然估计量
似然函数$L(\theta )$在$\theta$的取值范围内是关于$\theta$的单调递减函数，因此，似然函数$L(\theta )$的最大值在$\theta$的最小取值处取得，即$\theta$的最大似然估计量为$\hat {\theta }=max\{ {X}_{1},{X}_{2}$, ···· Xn}。
步骤 3：求最大似然估计量的期望
$\hat {\theta }$的概率密度${f}_{max}(x)=$ $\left \{ \begin{matrix} n(\dfrac {{x}^{n-1}}{{\theta }^{n}}),\quad 0\lt x\lt \theta \\ 0,\end{matrix} \right.$
因此，$\hat {\theta }$的期望为
$E(\hat {\theta })=\int_{0}^{\theta }x\cdot n(\dfrac {{x}^{n-1}}{{\theta }^{n}})dx=\dfrac {n}{n+1}\theta \neq \theta $。