题目
3.设总体-|||-为__ sim P(lambda ) ,(X1,X2,···,Xn )为样本,则λ^2)的一个无偏估计量-|||-__-|||-一、选择题
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解无偏估计量的定义
无偏估计量是指一个估计量的期望值等于被估计参数的真实值。即，如果 $\hat{\theta}$ 是参数 $\theta$ 的估计量，那么 $\hat{\theta}$ 是无偏的，当且仅当 $E(\hat{\theta}) = \theta$。
步骤 2：确定参数 $\lambda^2$ 的无偏估计量
给定 $X \sim P(\lambda)$，即 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布。对于泊松分布，均值和方差都是 $\lambda$。因此，样本均值 $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ 是 $\lambda$ 的无偏估计量，即 $E(\bar{X}) = \lambda$。
步骤 3：计算 $\lambda^2$ 的无偏估计量
为了找到 $\lambda^2$ 的无偏估计量，我们首先需要计算 $E(\bar{X}^2)$。根据方差的定义，我们有：
$$
E(\bar{X}^2) = Var(\bar{X}) + [E(\bar{X})]^2
$$
由于 $\bar{X}$ 是 $\lambda$ 的无偏估计量，$E(\bar{X}) = \lambda$。泊松分布的方差也是 $\lambda$，因此样本均值的方差为 $\frac{\lambda}{n}$。所以：
$$
E(\bar{X}^2) = \frac{\lambda}{n} + \lambda^2
$$
为了使 $\bar{X}^2$ 成为 $\lambda^2$ 的无偏估计量，我们需要从 $E(\bar{X}^2)$ 中减去 $\frac{\lambda}{n}$。因此，$\lambda^2$ 的无偏估计量为：
$$
\hat{\lambda^2} = \bar{X}^2 - \frac{\bar{X}}{n}
$$
无偏估计量是指一个估计量的期望值等于被估计参数的真实值。即，如果 $\hat{\theta}$ 是参数 $\theta$ 的估计量，那么 $\hat{\theta}$ 是无偏的，当且仅当 $E(\hat{\theta}) = \theta$。
步骤 2：确定参数 $\lambda^2$ 的无偏估计量
给定 $X \sim P(\lambda)$，即 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布。对于泊松分布，均值和方差都是 $\lambda$。因此，样本均值 $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ 是 $\lambda$ 的无偏估计量，即 $E(\bar{X}) = \lambda$。
步骤 3：计算 $\lambda^2$ 的无偏估计量
为了找到 $\lambda^2$ 的无偏估计量，我们首先需要计算 $E(\bar{X}^2)$。根据方差的定义，我们有：
$$
E(\bar{X}^2) = Var(\bar{X}) + [E(\bar{X})]^2
$$
由于 $\bar{X}$ 是 $\lambda$ 的无偏估计量，$E(\bar{X}) = \lambda$。泊松分布的方差也是 $\lambda$，因此样本均值的方差为 $\frac{\lambda}{n}$。所以：
$$
E(\bar{X}^2) = \frac{\lambda}{n} + \lambda^2
$$
为了使 $\bar{X}^2$ 成为 $\lambda^2$ 的无偏估计量，我们需要从 $E(\bar{X}^2)$ 中减去 $\frac{\lambda}{n}$。因此，$\lambda^2$ 的无偏估计量为：
$$
\hat{\lambda^2} = \bar{X}^2 - \frac{\bar{X}}{n}
$$