题目
5.7 对敌人的防御地段进行100次炮轰,每次炮轰命中的炮弹数服从同一分布,其数学期望为2,均方差为1.5. 若各次轰击命中的炮弹数相互独立,在100 次轰击中,求(1)有180到220发炮弹命中目标的概率; (2)至少命中180发炮弹的概率.
5.7 对敌人的防御地段进行100次炮轰,每次炮轰命中的炮弹数服从同一分布,其数学期望为2,均方差为1.5. 若各次轰击命中的炮弹数相互独立,在100 次轰击中,求(1)有180到220发炮弹命中目标的概率; (2)至少命中180发炮弹的概率.
题目解答
答案
解：以Xi表示第i次命中的炮弹数，则E(Xi) = 2, D(Xi) = 1.52, i = 1, · · · , 100.令Y 表示100次炮轰命中的炮弹数，则Y =Xi, E(Y ) = 100 · 2 = 200, D(Y ) =100∑i=1100 · 1.52 = 152,由中心极限定理知，Y·∼ N(200, 152)。(220 − 200)(180 − 200)(1)P{180 ≤ Y ≤ 220} ≃ Φ15− Φ15)= 0.8175.(180 − 200(2)P{X ≥ 180} = 1 − P{X < 180} ≃ 1 − Φ15= 0.9088.
解析
步骤 1：定义随机变量
设 \(X_i\) 表示第 \(i\) 次炮轰命中的炮弹数，其中 \(i = 1, 2, \ldots, 100\)。根据题意，\(E(X_i) = 2\)，\(D(X_i) = 1.5^2 = 2.25\)。
步骤 2：定义总命中数
令 \(Y\) 表示100次炮轰命中的炮弹总数，即 \(Y = \sum_{i=1}^{100} X_i\)。根据期望和方差的性质，我们有：
\[E(Y) = E\left(\sum_{i=1}^{100} X_i\right) = \sum_{i=1}^{100} E(X_i) = 100 \times 2 = 200\]
\[D(Y) = D\left(\sum_{i=1}^{100} X_i\right) = \sum_{i=1}^{100} D(X_i) = 100 \times 2.25 = 225\]
步骤 3：应用中心极限定理
由于 \(X_i\) 相互独立，且 \(n = 100\) 较大，根据中心极限定理，\(Y\) 近似服从正态分布 \(N(200, 225)\)。即 \(Y \sim N(200, 15^2)\)。
步骤 4：计算概率
(1) 求 \(180 \leq Y \leq 220\) 的概率：
\[P(180 \leq Y \leq 220) = P\left(\frac{180 - 200}{15} \leq \frac{Y - 200}{15} \leq \frac{220 - 200}{15}\right) = P\left(-\frac{20}{15} \leq Z \leq \frac{20}{15}\right)\]
\[= P(-1.33 \leq Z \leq 1.33) = \Phi(1.33) - \Phi(-1.33) = 2\Phi(1.33) - 1\]
查标准正态分布表，得 \(\Phi(1.33) \approx 0.9082\)，因此：
\[P(180 \leq Y \leq 220) \approx 2 \times 0.9082 - 1 = 0.8164\]
(2) 求 \(Y \geq 180\) 的概率：
\[P(Y \geq 180) = 1 - P(Y < 180) = 1 - P\left(\frac{Y - 200}{15} < \frac{180 - 200}{15}\right) = 1 - P\left(Z < -\frac{20}{15}\right)\]
\[= 1 - P(Z < -1.33) = 1 - (1 - \Phi(1.33)) = \Phi(1.33) \approx 0.9082\]
设 \(X_i\) 表示第 \(i\) 次炮轰命中的炮弹数，其中 \(i = 1, 2, \ldots, 100\)。根据题意，\(E(X_i) = 2\)，\(D(X_i) = 1.5^2 = 2.25\)。
步骤 2：定义总命中数
令 \(Y\) 表示100次炮轰命中的炮弹总数，即 \(Y = \sum_{i=1}^{100} X_i\)。根据期望和方差的性质，我们有：
\[E(Y) = E\left(\sum_{i=1}^{100} X_i\right) = \sum_{i=1}^{100} E(X_i) = 100 \times 2 = 200\]
\[D(Y) = D\left(\sum_{i=1}^{100} X_i\right) = \sum_{i=1}^{100} D(X_i) = 100 \times 2.25 = 225\]
步骤 3：应用中心极限定理
由于 \(X_i\) 相互独立，且 \(n = 100\) 较大，根据中心极限定理，\(Y\) 近似服从正态分布 \(N(200, 225)\)。即 \(Y \sim N(200, 15^2)\)。
步骤 4：计算概率
(1) 求 \(180 \leq Y \leq 220\) 的概率：
\[P(180 \leq Y \leq 220) = P\left(\frac{180 - 200}{15} \leq \frac{Y - 200}{15} \leq \frac{220 - 200}{15}\right) = P\left(-\frac{20}{15} \leq Z \leq \frac{20}{15}\right)\]
\[= P(-1.33 \leq Z \leq 1.33) = \Phi(1.33) - \Phi(-1.33) = 2\Phi(1.33) - 1\]
查标准正态分布表，得 \(\Phi(1.33) \approx 0.9082\)，因此：
\[P(180 \leq Y \leq 220) \approx 2 \times 0.9082 - 1 = 0.8164\]
(2) 求 \(Y \geq 180\) 的概率：
\[P(Y \geq 180) = 1 - P(Y < 180) = 1 - P\left(\frac{Y - 200}{15} < \frac{180 - 200}{15}\right) = 1 - P\left(Z < -\frac{20}{15}\right)\]
\[= 1 - P(Z < -1.33) = 1 - (1 - \Phi(1.33)) = \Phi(1.33) \approx 0.9082\]