题目

据统计大家每天的在线学习时长可分为三个组别不到, 1个小时 ,1到3 个小时,及 3 个小时以上,三个组别的学生占比分别为 15 % , 60 % , 25 % ,三个组别学生测试成绩的优秀率分别为 4 % , 10 % , 32 % .问 :(1)测试成绩的整体优秀率是多少 ?(2)若已知某学生的测试成绩优秀,该同学属于每天在线学习3小时以上的概率是多少?

题目解答

答案

解：

设三个组别学生总数为t.

(1)由三个组别的学生占比分别为15%，60%，25%可得：

三个组别的学生数分别为0.15t，0.6t，0.25t.

由三个组别学生测试成绩的优秀率分别为4%，10%，32%可得：

三个组别的测试成绩优秀学生数分别为：

∴测试成绩优秀学生总数为：

测试成绩的整体优秀率是

(2)由(1)可知：3个小时以上的测试成绩优秀学生数为

0.08t，测试成绩优秀学生总数为0.146t.

故3个小时以上的成绩优秀学生占成绩优秀学生总数

的比值为：

∴某测试成绩优秀学生属于每天在线学习3小时以上的概率是

解析

考查要点：本题主要考查加权平均数的应用以及条件概率的理解。
解题思路：

整体优秀率：需要将各组的优秀人数按比例加权求和，再除以总人数。
条件概率：已知成绩优秀，求属于某组的概率，本质是求该组优秀人数占总优秀人数的比例。
关键点：正确理解题目中“占比”和“优秀率”的关系，建立加权计算的数学模型。

第（1）题

整体优秀率的计算

设定总人数：设总人数为 $t$，则各组人数分别为 $0.15t$、$0.6t$、$0.25t$。
计算各组优秀人数：
- 不到1小时组：$0.15t \times 4\% = 0.006t$
- 1到3小时组：$0.6t \times 10\% = 0.06t$
- 3小时以上组：$0.25t \times 32\% = 0.08t$
总优秀人数：$0.006t + 0.06t + 0.08t = 0.146t$
整体优秀率：$\dfrac{0.146t}{t} = 14.6\%$

第（2）题

条件概率的计算

提取关键数据：
- 3小时以上组的优秀人数：$0.08t$
- 总优秀人数：$0.146t$
计算比例：$\dfrac{0.08t}{0.146t} = \dfrac{8}{14.6} = \dfrac{40}{73}$