题目
写出下列随机试验的样本空间Ω与随机事件A中所包含的样本点:抛掷三枚均匀的硬币,事件A=“至少两枚硬币是正面朝上”;对一密码进行破译,记录破译成功时总的破译次数,事件A=“总次数不超过8次”;从一批手机中随机抽取一个测试它的电池使用时间长度,事件A=“使用时间在72到108小时之间”.
写出下列随机试验的样本空间Ω与随机事件A中所包含的样本点:
抛掷三枚均匀的硬币,事件A=“至少两枚硬币是正面朝上”;
对一密码进行破译,记录破译成功时总的破译次数,事件A=“总次数不超过8次”;
从一批手机中随机抽取一个测试它的电池使用时间长度,事件A=“使用时间在72到108小时之间”.题目解答
答案
【解析】
(1)抛掷三枚均匀的硬币,事件A=“至少两枚硬币是正面朝上”中,
样本空间Ω为:{正,正,正},{正,正,反},{正,反,正},{正,反,反},{反,正,正},{反,正,反},{反,反,正},{反,反,反}.
,事件A=“至少两枚硬币是正面朝上”中所包含的样本点为:{正,正,正},{正,正,反},{正,反,正},{反,正,正}.
(2)对一密码进行破译,记录破译成功时总的破译次数,事件A=“总次数不超过8次”中,
样本空间Ω为:$\{ x|x\in {N}^{\ast }\} $,
事件A=“总次数不超过8次”中所包含的样本点为:$\{ 1,2,3,4,5,6,7,8\} $;
(3)从一批手机中随机抽取一个测试它的电池使用时间长度,事件A=“使用时间在72到108小时之间”中,
样本空间Ω为${x|x\gt 0}$,
事件A=“使用时间在72到108小时之间”中所包含的样本点为:$\{ x|72\leq x\leq 108\} $.
解析
考查要点:本题主要考查样本空间和随机事件的定义,以及如何根据实际问题确定所有可能的样本点,并从中筛选出符合特定事件条件的样本点。
解题核心思路:
- 样本空间:明确每个随机试验所有可能的结果的集合。
- 事件A的样本点:根据题目描述的事件条件,从样本空间中筛选出符合条件的样本点。
破题关键点:
- 抛掷三枚硬币:需列出所有可能的正反组合,注意顺序不同视为不同样本点。
- 破译密码次数:试验结果为正整数,事件A需包含有限个结果。
- 电池使用时间:时间是连续型变量,需用区间表示。
(1)抛掷三枚均匀硬币
样本空间:
三枚硬币的可能结果共有 $2^3=8$ 种,每个样本点为有序三元组(第一枚、第二枚、第三枚的结果):
$\Omega = \{ (\text{正,正,正}),\ (\text{正,正,反}),\ (\text{正,反,正}),\ (\text{正,反,反}),\ (\text{反,正,正}),\ (\text{反,正,反}),\ (\text{反,反,正}),\ (\text{反,反,反}) \}$
事件A的样本点:
“至少两枚正面”包含以下情况:
- 三枚正面:$(\text{正,正,正})$
- 两枚正面:$(\text{正,正,反}),\ (\text{正,反,正}),\ (\text{反,正,正})$
共 4 个样本点。
(2)破译密码次数
样本空间:
破译可能在第1次成功,也可能在第2次、第3次等,因此样本空间为全体正整数:
$\Omega = \{ x \mid x \in \mathbb{N}^* \} = \{1, 2, 3, \dots\}$
事件A的样本点:
“总次数不超过8次”即结果为1到8的正整数:
$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$
(3)手机电池使用时间
样本空间:
电池使用时间可以是任何正实数:
$\Omega = \{ x \mid x > 0 \}$
事件A的样本点:
“使用时间在72到108小时之间”即时间区间 $[72, 108]$ 内的所有实数:
$A = \{ x \mid 72 \leq x \leq 108 \}$