4.9 在太平洋入口的三条河抽取了一些鱼(同一品种),测量三个变量:长度、生长系数及年龄,每条河测-|||-76条鱼,算得-|||-overline ({x)_(1)}= (} 441.16 0.13 -3.36 ,H1:μ1,μ2,μ3不全相等

考查要点：本题主要考查多元方差分析（MANOVA）的应用，用于检验多个多元正态总体的均值向量是否相等。核心在于理解如何构建组间与组内离差矩阵，并利用行列式比值构造检验统计量。

解题思路：

1. 计算总均值向量：将三组样本均值向量取平均。
2. 构建误差矩阵（E）：将各组协方差矩阵乘以自由度后相加。
3. 构建组间矩阵（H）：通过各组均值与总均值的离均差构造。
4. 计算行列式比值 $\Delta = \dfrac{|E|}{|E+H|}$，反映组间差异。
5. 构造F统计量：通过特定公式将$\Delta$转换为F值，与临界值比较，判断是否拒绝原假设。

关键点：正确构建E和H矩阵，理解行列式比值的统计意义，以及F检验的自由度计算。

1. 计算总均值向量 $\overline{x}$

三组样本均值分别为 $\overline{x}_1, \overline{x}_2, \overline{x}_3$，总均值为：
$\overline{x} = \dfrac{1}{3}(\overline{x}_1 + \overline{x}_2 + \overline{x}_3) = \begin{pmatrix} 459.88 \\ 0.12 \\ -3.747 \end{pmatrix}$

2. 构建误差矩阵 $E$

每组自由度为 $n-1=75$，误差矩阵为各组协方差矩阵加权和：
$E = 75(S_1 + S_2 + S_3) = \begin{bmatrix}155520.75 & -165.75 & -10921.5 \\-165.75 & 0.2625 & 15 \\-10921.5 & 15 & 984.75\end{bmatrix}$

3. 构建组间矩阵 $H$

组间矩阵由各组均值与总均值的离均差构成：
$H = 76 \left[ (\overline{x}_1 - \overline{x})(\overline{x}_1 - \overline{x})' + (\overline{x}_2 - \overline{x})(\overline{x}_2 - \overline{x})' + (\overline{x}_3 - \overline{x})(\overline{x}_3 - \overline{x})' \right]$
计算得：
$H = \begin{bmatrix}245012.1 & -160.9148 & -4342.442 \\-160.9148 & 0.1064 & 2.834 \\-4342.442 & 2.8348 & 77.373\end{bmatrix}$

4. 计算行列式比值 $\Delta$

$\Delta = \dfrac{|E|}{|E+H|} = 0.1422$

5. 构造F统计量

根据公式：
$F = \dfrac{(n-k-p+1)(1-\sqrt{\Delta})}{p\sqrt{\Delta}} \quad \text{自由度} \quad F(2p, 2(n-k+p+1))$
其中 $n=76 \times 3=228$，$k=3$ 组，$p=3$ 变量，代入得：
$F = \dfrac{(228-3-3+1)(1-\sqrt{0.1422})}{3\sqrt{0.1422}} \approx 122.81$

6. 比较临界值

查表得 $F_{0.01}(6,446)=2.84$，因 $122.81 > 2.84$，拒绝 $H_0$，结论为三总体均值不全相等。