题目
8.设 X_(1),X_(2),X_(3) 是来自正态总体 N(mu,sigma^2) 的样本，则 (1)/(5)X_(1)+(1)/(5)X_(2)+(1)/(5)X_(3) 是 mu 的无偏估计.（）
8.设 $X_{1},X_{2},X_{3}$ 是来自正态总体 $N(\mu,\sigma^{2})$ 的样本，则 $\frac{1}{5}X_{1}+\frac{1}{5}X_{2}+\frac{1}{5}X_{3}$ 是 $\mu$ 的无偏估计.（）
题目解答
答案
为了确定 $\frac{1}{5}X_1 + \frac{1}{5}X_2 + \frac{1}{5}X_3$ 是否是 $\mu$ 的无偏估计，我们需要检查这个估计量的期望值是否等于 $\mu$。
已知 $X_1, X_2, X_3$ 是来自正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，我们知道每个 $X_i$ 的期望值是 $\mu$。也就是说，$E(X_i) = \mu$ 对于 $i = 1, 2, 3$。
现在，我们考虑估计量 $\frac{1}{5}X_1 + \frac{1}{5}X_2 + \frac{1}{5}X_3$。这个估计量的期望值可以如下计算：
\[
E\left(\frac{1}{5}X_1 + \frac{1}{5}X_2 + \frac{1}{5}X_3\right) = \frac{1}{5}E(X_1) + \frac{1}{5}E(X_2) + \frac{1}{5}E(X_3)
\]
由于 $E(X_i) = \mu$ 对于每个 $i$，我们将 $\mu$ 代入 $E(X_i)$：
\[
E\left(\frac{1}{5}X_1 + \frac{1}{5}X_2 + \frac{1}{5}X_3\right) = \frac{1}{5}\mu + \frac{1}{5}\mu + \frac{1}{5}\mu = \frac{3}{5}\mu
\]
为了使估计量成为 $\mu$ 的无偏估计，其期望值必须等于 $\mu$。然而，我们看到期望值是 $\frac{3}{5}\mu$，这不等于 $\mu$，除非 $\mu = 0$。
因此，$\frac{1}{5}X_1 + \frac{1}{5}X_2 + \frac{1}{5}X_3$ 不是 $\mu$ 的无偏估计。
答案是 $\boxed{\text{错误}}$。
解析
本题考查无偏估计的概念。解题思路是根据无偏估计的定义，判断估计量的期望值是否等于被估计的参数。若估计量 $\hat{\theta}$ 满足 $E(\hat{\theta})=\theta$，则称 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的无偏估计。对于本题，我们需要计算估计量 $\frac{1}{5}X_{1}+\frac{1}{5}X_{2}+\frac{1}{5}X_{3}$ 的期望值，并与 $\mu$ 进行比较。
- 已知 $X_{1},X_{2},X_{3}$ 是来自正态总体 $N(\mu,\sigma^{2})$ 的样本，根据正态分布的性质，可得 $E(X_{1}) = E(X_{2}) = E(X_{3}) = \mu$。
- 计算估计量 $\frac{1}{5}X_{1}+\frac{1}{5}X_{2}+\frac{1}{5}X_{3}$ 的期望值：
根据期望的线性性质 $E(aX + bY)=aE(X)+bE(Y)$（其中 $a,b$ 为常数，$X,Y$ 为随机变量），对于多个随机变量同样适用。
所以 $E(\frac{1}{5}X_{1}+\frac{1}{5}X_{2}+\frac{1}{5}X_{3})=\frac{1}{5}E(X_{1})+\frac{1}{5}E(X_{2})+\frac{1}{5}E(X_{3})$。 - 将 $E(X_{1}) = E(X_{2}) = E(X_{3}) = \mu$ 代入上式：
$E(\frac{1}{5}X_{1}+\frac{1}{5}X_{2}+\frac{1}{5}X_{3})=\frac{1}{5}\mu+\frac{1}{5}\mu+\frac{1}{5}\mu=\frac{3}{5}\mu$。 - 由于 $\frac{3}{5}\mu\neq\mu$（除非 $\mu = 0$），不满足无偏估计的定义，所以 $\frac{1}{5}X_{1}+\frac{1}{5}X_{2}+\frac{1}{5}X_{3}$ 不是 $\mu$ 的无偏估计。