题目
设随机变量X与Y,则下列结论必然成立的有() ()-|||-A. E(X+Y)=E(X)+E(Y)-|||-B. D(X+Y)=D(X)+D(Y)-|||-C.当 E(XY)=E(X)E(Y) 时,X与Y一定相互独立。-|||-D.当X与Y不相关时,X与Y一定相互独立。
题目解答
答案
本题考查随机变量的期望、方差以及独立性、相关性等相关性质，
解析
步骤 1：期望的性质
期望的性质之一是线性性质，即对于任意两个随机变量X和Y，有 E(X+Y)=E(X)+E(Y)。这个性质是无条件成立的，因此选项A正确。
步骤 2：方差的性质
方差的性质之一是 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)，其中Cov(X,Y)表示X与Y的协方差。只有当Cov(X,Y)=0，即X与Y不相关时，才有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)。因此，选项B错误。
步骤 3：独立性和相关性的关系
当 E(XY)=E(X)E(Y) 时，只能说明X与Y的协方差Cov(X,Y)=0，即X与Y不相关。但不相关并不一定意味着相互独立。例如，在二维正态分布中，不相关等价于相互独立，但对于一般的随机变量，不相关不能推出相互独立。因此，选项C错误。
步骤 4：不相关与独立的关系
当X与Y不相关时，即Cov(X,Y)=0，也就意味着满足 E(XY)=E(X)E(Y)。但这不能必然推出X与Y相互独立。因此，选项D错误。
期望的性质之一是线性性质，即对于任意两个随机变量X和Y，有 E(X+Y)=E(X)+E(Y)。这个性质是无条件成立的，因此选项A正确。
步骤 2：方差的性质
方差的性质之一是 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)，其中Cov(X,Y)表示X与Y的协方差。只有当Cov(X,Y)=0，即X与Y不相关时，才有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)。因此，选项B错误。
步骤 3：独立性和相关性的关系
当 E(XY)=E(X)E(Y) 时，只能说明X与Y的协方差Cov(X,Y)=0，即X与Y不相关。但不相关并不一定意味着相互独立。例如，在二维正态分布中，不相关等价于相互独立，但对于一般的随机变量，不相关不能推出相互独立。因此，选项C错误。
步骤 4：不相关与独立的关系
当X与Y不相关时，即Cov(X,Y)=0，也就意味着满足 E(XY)=E(X)E(Y)。但这不能必然推出X与Y相互独立。因此，选项D错误。