6.设x1,x2,x 3服从均匀分布U (0,θ),试证 dfrac (4)(3)x(3) 及4x(1)都是θ的无偏估计,哪个更有效?

考查要点：本题主要考查均匀分布的顺序统计量的期望与方差，以及无偏估计和有效估计的判断方法。

解题核心思路：

1. 无偏性：计算两个估计量 $\dfrac{4}{3}X_{(3)}$ 和 $4X_{(1)}$ 的期望，验证是否等于参数 $\theta$。
2. 有效性：比较两个估计量的方差，方差更小的更有效。

破题关键点：

• 均匀分布顺序统计量的性质：对于 $X_{(k)}$（第 $k$ 个顺序统计量），其期望为 $\dfrac{k}{n+1}\theta$，方差为 $\dfrac{k(n+1-k)}{(n+1)^2(n+2)}\theta^2$（其中 $n$ 为样本量）。
• 无偏性判断：通过调整系数使估计量的期望等于 $\theta$。
• 有效性判断：直接比较调整后的方差大小。

1. 证明无偏性

对 $\dfrac{4}{3}X_{(3)}$ 的期望

• $X_{(3)}$ 是最大值，其期望为 $\dfrac{3}{4}\theta$。
• 调整后：$\mathbb{E}\left[\dfrac{4}{3}X_{(3)}\right] = \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{3}{4}\theta = \theta$，故无偏。

对 $4X_{(1)}$ 的期望

• $X_{(1)}$ 是最小值，其期望为 $\dfrac{1}{4}\theta$。
• 调整后：$\mathbb{E}[4X_{(1)}] = 4 \cdot \dfrac{1}{4}\theta = \theta$，故无偏。

2. 比较有效性

$\dfrac{4}{3}X_{(3)}$ 的方差

• $X_{(3)}$ 的方差为 $\dfrac{3 \cdot 1}{(4)^2 \cdot 5}\theta^2 = \dfrac{3}{80}\theta^2$。
• 调整后方差：$\left(\dfrac{4}{3}\right)^2 \cdot \dfrac{3}{80}\theta^2 = \dfrac{16}{9} \cdot \dfrac{3}{80}\theta^2 = \dfrac{1}{15}\theta^2$。

$4X_{(1)}$ 的方差

• $X_{(1)}$ 的方差为 $\dfrac{1 \cdot 3}{(4)^2 \cdot 5}\theta^2 = \dfrac{3}{80}\theta^2$。
• 调整后方差：$4^2 \cdot \dfrac{3}{80}\theta^2 = 16 \cdot \dfrac{3}{80}\theta^2 = \dfrac{3}{5}\theta^2$。

结论：$\dfrac{1}{15}\theta^2 < \dfrac{3}{5}\theta^2$，故 $\dfrac{4}{3}X_{(3)}$ 更有效。