题目
设n阶方阵A与B等价，则（）A. |A|=|B|B. |A|≠|B|C. |A|=-|B|D. 若|A|≠0则必有|B|≠0
设n阶方阵A与B等价，则（）
A. |A|=|B|
B. |A|≠|B|
C. |A|=-|B|
D. 若|A|≠0则必有|B|≠0
题目解答
答案
D. 若|A|≠0则必有|B|≠0
解析
步骤 1：理解等价矩阵的定义
两个矩阵A和B等价，意味着存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B。这表明A和B可以通过一系列初等变换相互转换。
步骤 2：考虑行列式的性质
行列式的一个重要性质是，如果一个矩阵是可逆的，那么它的行列式不为零。即，如果矩阵A是可逆的，那么|A|≠0。
步骤 3：分析选项
A. |A|=|B|：这不总是正确的，因为等价矩阵的行列式不一定相等。
B. |A|≠|B|：这也不总是正确的，因为等价矩阵的行列式可能相等。
C. |A|=-|B|：这同样不总是正确的，因为等价矩阵的行列式可能不满足这种关系。
D. 若|A|≠0则必有|B|≠0：这是正确的，因为如果A是可逆的，那么B也是可逆的，因为它们等价，所以|B|≠0。
两个矩阵A和B等价，意味着存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B。这表明A和B可以通过一系列初等变换相互转换。
步骤 2：考虑行列式的性质
行列式的一个重要性质是，如果一个矩阵是可逆的，那么它的行列式不为零。即，如果矩阵A是可逆的，那么|A|≠0。
步骤 3：分析选项
A. |A|=|B|：这不总是正确的，因为等价矩阵的行列式不一定相等。
B. |A|≠|B|：这也不总是正确的，因为等价矩阵的行列式可能相等。
C. |A|=-|B|：这同样不总是正确的，因为等价矩阵的行列式可能不满足这种关系。
D. 若|A|≠0则必有|B|≠0：这是正确的，因为如果A是可逆的，那么B也是可逆的，因为它们等价，所以|B|≠0。