4.设总体为均匀分布U(0,θ)，x_(1),x_(2),...,x_(n)是样本，考虑检验问题H_(0):thetageqslant3 vs H_(1):theta<3，拒绝域取为W=x_{(n))leqslant2.5}，求检验犯第一类错误的最大值α，若要使得该最大值α不超过0.05，n至少应取多大？

本题主要考查均匀分布、次序统计量的分布以及第一类错误概率的计算，同时涉及对数运算来求解不等式。解题思路如下：

1. 确定第一类错误概率：
   • 已知总体$X\sim U(0,\theta)$，其概率密度函数为$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{\theta},&0<x<\theta\\0,&\text{其他}\end{cases}$，分布函数为$F(x)=\begin{cases}0,&x\leq0\\\frac{x}{\theta},&0<x<\theta\\1,&x\geq\theta\end{cases}$。
   • 对于样本$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$，最大次序统计量$x_{(n)}$的分布函数为$F_n(x)=[F(x)]^n$。将$F(x)$代入可得$F_n(x)=\left(\frac{x}{\theta}\right)^n$，其中$0<x<\theta$。
   • 第一类错误是指原假设$H_0$为真时拒绝$H_0$，本题中拒绝域为$W = \{x_{(n)} \leq 2.5\}$，在$H_0: \theta \geq 3$下，第一类错误概率$\alpha(\theta) = P(x_{(n)} \leq 2.5 \mid \theta)$。
   • 根据$x_{(n)}$的分布函数，可得$\alpha(\theta) = F_n(2.5)=\left(\frac{2.5}{\theta}\right)^n$。
   • 因为$\theta \geq 3$，函数$y = \left(\frac{2.5}{\theta}\right)^n$关于$\theta$单调递增，所以当$\theta = 3$时，$\alpha(\theta)$取得最大值，即$\alpha = \left(\frac{2.5}{3}\right)^n$。
2. 求满足条件的最小$n$：
   • 已知要使得该最大值$\alpha$不超过$0.05$，即$\left(\frac{2.5}{3}\right)^n \leq 0.05$。
   • 对不等式两边取自然对数，根据对数函数的单调性可得$n\ln\left(\frac{2.5}{3}\right) \leq \ln(0.05)$。
   • 因为$\ln\left(\frac{2.5}{3}\right)<0$，所以不等式两边同时除以$\ln\left(\frac{2.5}{3}\right)$时，不等号方向改变，得到$n \geq \frac{\ln(0.05)}{\ln\left(\frac{2.5}{3}\right)}$。
   • 计算$\frac{\ln(0.05)}{\ln\left(\frac{2.5}{3}\right)}\approx 16.43$。
   • 由于$n$为样本容量，必须为整数，所以$n$至少取$17$。