题目
4.设总体为均匀分布U(0,θ)，x_(1),x_(2),...,x_(n)是样本，考虑检验问题H_(0):thetageqslant3 vs H_(1):theta<3，拒绝域取为W=x_{(n))leqslant2.5}，求检验犯第一类错误的最大值α，若要使得该最大值α不超过0.05，n至少应取多大？
4.设总体为均匀分布U(0,θ)，$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$是样本，考虑检验问题
$H_{0}:\theta\geqslant3$ vs $H_{1}:\theta<3$，
拒绝域取为$W=\{x_{(n)}\leqslant2.5\}$，求检验犯第一类错误的最大值α，若要使得该最大值α不超过0.05，n至少应取多大？
题目解答
答案
1. **确定第一类错误概率**：
拒绝域为 $W = \{x_{(n)} \leq 2.5\}$，在 $H_0: \theta \geq 3$ 下，最大次序统计量 $x_{(n)}$ 的分布函数为 $F_n(x) = \left(\frac{x}{\theta}\right)^n$。
第一类错误概率 $\alpha(\theta) = P(x_{(n)} \leq 2.5 \mid \theta) = \left(\frac{2.5}{\theta}\right)^n$，在 $\theta = 3$ 时最大，即 $\alpha = \left(\frac{2.5}{3}\right)^n$。
2. **求满足条件的最小 $n$**：
需 $\alpha \leq 0.05$，即 $\left(\frac{2.5}{3}\right)^n \leq 0.05$。取对数解得：
\[
n \geq \frac{\ln(0.05)}{\ln\left(\frac{2.5}{3}\right)} \approx 16.43
\]
取整数 $n \geq 17$。
**答案**：
检验犯第一类错误的最大值 $\alpha = \left(\frac{2.5}{3}\right)^n$，
$n$ 至少为 $\boxed{17}$。