题目
10.填空题设总体X的概率分布为X & 1 & 2 & 3 P & theta^2 & 2theta(1-theta) & (1-theta)^2其中theta(0<theta<1)是未知参数，利用总体X的如下样本值1,2,1,估计theta的极大似然估计值为____.(答案保留小数点后两位有效数字)
10.填空题
设总体X的概率分布为
$\begin{array}{c|ccc}X & 1 & 2 & 3 \\\hline P & \theta^{2} & 2\theta(1-\theta) & (1-\theta)^{2}\end{array}$
其中$\theta(0<\theta<1)$是未知参数，
利用总体X的如下样本值1,2,1,
估计$\theta$的极大似然估计值为____.
(答案保留小数点后两位有效数字)
题目解答
答案
为了找到参数$\theta$的极大似然估计值，我们首先需要写出给定样本值1, 2, 1的似然函数。似然函数是样本中每个观察值概率的乘积。
总体$X$的概率分布为：
\[
\begin{array}{c|ccc}
X & 1 & 2 & 3 \\
\hline
P & \theta^2 & 2\theta(1-\theta) & (1-\theta)^2
\end{array}
\]
给定样本值1, 2, 1，似然函数$L(\theta)$为：
\[
L(\theta) = P(X=1) \cdot P(X=2) \cdot P(X=1) = \theta^2 \cdot 2\theta(1-\theta) \cdot \theta^2 = 2\theta^5(1-\theta)
\]
为了找到极大似然估计值，我们需要最大化似然函数$L(\theta)$。这等价于最大化对数似然函数$\ell(\theta)$，其中：
\[
\ell(\theta) = \log L(\theta) = \log(2\theta^5(1-\theta)) = \log 2 + 5\log\theta + \log(1-\theta)
\]
我们对$\ell(\theta)$关于$\theta$求导，并将其设为零以找到临界点：
\[
\frac{d\ell(\theta)}{d\theta} = \frac{5}{\theta} - \frac{1}{1-\theta}
\]
\[
\frac{5}{\theta} - \frac{1}{1-\theta} = 0
\]
\[
\frac{5(1-\theta) - \theta}{\theta(1-\theta)} = 0
\]
\[
5 - 5\theta - \theta = 0
\]
\[
5 - 6\theta = 0
\]
\[
\theta = \frac{5}{6}
\]
为了确保这个临界点是最大值，我们可以使用二阶导数检验。对数似然函数的二阶导数为：
\[
\frac{d^2\ell(\theta)}{d\theta^2} = -\frac{5}{\theta^2} - \frac{1}{(1-\theta)^2}
\]
由于对于$0 < \theta < 1$，二阶导数为负，函数$\ell(\theta)$在$\theta = \frac{5}{6}$处有最大值。
因此，$\theta$的极大似然估计值为：
\[
\boxed{0.83}
\]
解析
步骤 1：写出似然函数
根据给定的样本值1, 2, 1，似然函数$L(\theta)$为： \[ L(\theta) = P(X=1) \cdot P(X=2) \cdot P(X=1) = \theta^2 \cdot 2\theta(1-\theta) \cdot \theta^2 = 2\theta^5(1-\theta) \]
步骤 2：写出对数似然函数
对数似然函数$\ell(\theta)$为： \[ \ell(\theta) = \log L(\theta) = \log(2\theta^5(1-\theta)) = \log 2 + 5\log\theta + \log(1-\theta) \]
步骤 3：求对数似然函数的一阶导数
对$\ell(\theta)$关于$\theta$求导： \[ \frac{d\ell(\theta)}{d\theta} = \frac{5}{\theta} - \frac{1}{1-\theta} \]
步骤 4：求一阶导数的零点
令一阶导数等于零，求解$\theta$： \[ \frac{5}{\theta} - \frac{1}{1-\theta} = 0 \] \[ \frac{5(1-\theta) - \theta}{\theta(1-\theta)} = 0 \] \[ 5 - 5\theta - \theta = 0 \] \[ 5 - 6\theta = 0 \] \[ \theta = \frac{5}{6} \]
步骤 5：验证极大值
对数似然函数的二阶导数为： \[ \frac{d^2\ell(\theta)}{d\theta^2} = -\frac{5}{\theta^2} - \frac{1}{(1-\theta)^2} \] 由于对于$0 < \theta < 1$，二阶导数为负，函数$\ell(\theta)$在$\theta = \frac{5}{6}$处有最大值。
根据给定的样本值1, 2, 1，似然函数$L(\theta)$为： \[ L(\theta) = P(X=1) \cdot P(X=2) \cdot P(X=1) = \theta^2 \cdot 2\theta(1-\theta) \cdot \theta^2 = 2\theta^5(1-\theta) \]
步骤 2：写出对数似然函数
对数似然函数$\ell(\theta)$为： \[ \ell(\theta) = \log L(\theta) = \log(2\theta^5(1-\theta)) = \log 2 + 5\log\theta + \log(1-\theta) \]
步骤 3：求对数似然函数的一阶导数
对$\ell(\theta)$关于$\theta$求导： \[ \frac{d\ell(\theta)}{d\theta} = \frac{5}{\theta} - \frac{1}{1-\theta} \]
步骤 4：求一阶导数的零点
令一阶导数等于零，求解$\theta$： \[ \frac{5}{\theta} - \frac{1}{1-\theta} = 0 \] \[ \frac{5(1-\theta) - \theta}{\theta(1-\theta)} = 0 \] \[ 5 - 5\theta - \theta = 0 \] \[ 5 - 6\theta = 0 \] \[ \theta = \frac{5}{6} \]
步骤 5：验证极大值
对数似然函数的二阶导数为： \[ \frac{d^2\ell(\theta)}{d\theta^2} = -\frac{5}{\theta^2} - \frac{1}{(1-\theta)^2} \] 由于对于$0 < \theta < 1$，二阶导数为负，函数$\ell(\theta)$在$\theta = \frac{5}{6}$处有最大值。