题目
某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据： 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得sum_(i=1)^10xi2=0.038，sum_(i=1)^10yi2=1.6158，sum_(i=1)^10xiyi=0.2474．（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数r=((sum_{i=1)^n(（{{x_i)-overline(x)}）}（({y_i)-overline(y)}）})/((sqrt(sum_{i=1)^n{{{（{{x_i)-overline{x)}）}^2}}sum_(i=1)^n({{（{{y_i)-overline(y)}）}^2}}}}}，sqrt(1.896)≈1.377．
某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据：
并计算得$\sum_{i=1}^{10}$xi2=0.038，$\sum_{i=1}^{10}$yi2=1.6158，$\sum_{i=1}^{10}$xiyi=0.2474．
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数r=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline{x}}）}（{{y_i}-\overline{y}}）}}{{\sqrt{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline{x}}）}^2}}\sum_{i=1}^n{{{（{{y_i}-\overline{y}}）}^2}}}}}$，$\sqrt{1.896}$≈1.377．
| 样本号i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 总和 |
| 根部横截面积xi | 0.04 | 0.06 | 0.04 | 0.08 | 0.08 | 0.05 | 0.05 | 0.07 | 0.07 | 0.06 | 0.6 |
| 材积量yi | 0.25 | 0.40 | 0.22 | 0.54 | 0.51 | 0.34 | 0.36 | 0.46 | 0.42 | 0.40 | 3.9 |
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数r=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline{x}}）}（{{y_i}-\overline{y}}）}}{{\sqrt{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline{x}}）}^2}}\sum_{i=1}^n{{{（{{y_i}-\overline{y}}）}^2}}}}}$，$\sqrt{1.896}$≈1.377．
题目解答
答案
解：（1）设这棵树木平均一棵的根部横截面积为$\overline{x}$，平均一棵的材积量为$\overline{y}$，
则根据题中数据得：$\overline{x}$=$\frac{0.6}{10}$=0.06，$\overline{y}$=$\frac{3.9}{10}$=0.39；
（2）由题可知，r=$\frac{\sum_{i=1}^{10}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{\sum_{i=1}^{10}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}\sum_{i=1}^{10}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{10}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sqrt{（\sum_{i=1}^{10}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}）（\sum_{i=1}^{10}{{y}_{i}}^{2}-n{\overline{y}}^{2}）}}$=$\frac{0.0134}{\sqrt{0.002×0.0948}}$=$\frac{0.0134}{0.01×\sqrt{1.896}}$=$\frac{0.0134}{0.01377}$=0.97；
（3）设从根部面积总和X，总材积量为Y，则$\frac{X}{Y}=\frac{\overline{x}}{\overline{y}}$，故Y=$\frac{0.39}{0.06}×186$=1209（m3）．
则根据题中数据得：$\overline{x}$=$\frac{0.6}{10}$=0.06，$\overline{y}$=$\frac{3.9}{10}$=0.39；
（2）由题可知，r=$\frac{\sum_{i=1}^{10}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{\sum_{i=1}^{10}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}\sum_{i=1}^{10}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{10}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sqrt{（\sum_{i=1}^{10}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}）（\sum_{i=1}^{10}{{y}_{i}}^{2}-n{\overline{y}}^{2}）}}$=$\frac{0.0134}{\sqrt{0.002×0.0948}}$=$\frac{0.0134}{0.01×\sqrt{1.896}}$=$\frac{0.0134}{0.01377}$=0.97；
（3）设从根部面积总和X，总材积量为Y，则$\frac{X}{Y}=\frac{\overline{x}}{\overline{y}}$，故Y=$\frac{0.39}{0.06}×186$=1209（m3）．
解析
步骤 1：计算平均根部横截面积与平均材积量
根据题目给出的数据，计算平均根部横截面积$\overline{x}$和平均材积量$\overline{y}$。
步骤 2：计算样本相关系数
利用相关系数公式计算根部横截面积与材积量的样本相关系数$r$。
步骤 3：估计总材积量
利用根部横截面积与材积量的正比关系，结合已知的根部横截面积总和，计算总材积量的估计值。
根据题目给出的数据，计算平均根部横截面积$\overline{x}$和平均材积量$\overline{y}$。
步骤 2：计算样本相关系数
利用相关系数公式计算根部横截面积与材积量的样本相关系数$r$。
步骤 3：估计总材积量
利用根部横截面积与材积量的正比关系，结合已知的根部横截面积总和，计算总材积量的估计值。