设A为n阶可逆矩阵，且每行元素和都等于非零常数a，证明：A的逆矩阵的每一行元素之和为1/a.
题目解答
答案
设 $ A $ 为 $ n $ 阶可逆矩阵，且每行元素和为非零常数 $ a $。令 $ \mathbf{1} = (1, 1, \ldots, 1)^T $，则由题意得 $ A\mathbf{1} = a\mathbf{1} $。
两边左乘 $ A^{-1} $，得 $ A^{-1}A\mathbf{1} = A^{-1}(a\mathbf{1}) $，即 $ \mathbf{1} = aA^{-1}\mathbf{1} $。
因此，$ A^{-1}\mathbf{1} = \frac{1}{a}\mathbf{1} $。
这表明 $ A^{-1} $ 的每一行元素和为 $ \frac{1}{a} $。
结论： $ A^{-1} $ 的每一行元素和为 $ \boxed{\frac{1}{a}} $。
解析
考查要点：本题主要考查矩阵的逆运算性质、矩阵与向量的乘法，以及利用特殊向量（全1向量）简化问题的能力。
解题核心思路：
- 构造全1向量：利用题目中“每行元素和为常数a”的条件，将矩阵与全1向量相乘，得到关键等式。
- 逆矩阵的性质：通过逆矩阵的定义，将原等式两边左乘逆矩阵，推导出逆矩阵与全1向量的乘积结果。
- 行和的几何意义：矩阵与全1向量的乘积结果的每个分量即对应行的和，从而直接得出结论。
破题关键点：
- 全1向量的作用：将行和条件转化为矩阵与向量的乘积关系。
- 逆矩阵的运算：通过逆矩阵消去原矩阵，建立逆矩阵与全1向量的关系。
步骤1：构造全1向量
设全1向量 $\mathbf{1} = (1, 1, \ldots, 1)^T$，根据题意，矩阵 $A$ 的每行元素和均为 $a$，因此有：
$A\mathbf{1} = a\mathbf{1}$
步骤2：利用逆矩阵消去 $A$
对等式两边左乘 $A^{-1}$，得：
$A^{-1}A\mathbf{1} = A^{-1}(a\mathbf{1})$
化简左边为 $A^{-1}A = I$，即：
$\mathbf{1} = aA^{-1}\mathbf{1}$
步骤3：求解 $A^{-1}\mathbf{1}$
将等式两边除以 $a$，得到：
$A^{-1}\mathbf{1} = \frac{1}{a}\mathbf{1}$
步骤4：分析行和的意义
矩阵 $A^{-1}$ 与全1向量 $\mathbf{1}$ 的乘积结果为 $\frac{1}{a}\mathbf{1}$，说明 $A^{-1}$ 的每一行与 $\mathbf{1}$ 的点积均为 $\frac{1}{a}$。而行与 $\mathbf{1}$ 的点积即该行元素之和，因此：
$A^{-1} \text{的每一行元素和为} \frac{1}{a}$