6.(判断题) 设f(x)在X上有界，g(x)在X上无界，则f(x)+g(x)在X上无界( )。A. 对B. 错

考查要点：本题主要考查函数有界性与无界性的性质，以及函数相加后的有界性判断。

解题核心思路：

• 有界函数的绝对值不超过某个正数，无界函数则不存在这样的正数限制。
• 关键点在于利用反证法：假设$f(x)+g(x)$有界，推导出与$g(x)$无界矛盾的结论，从而证明原命题成立。

破题关键：

• 三角不等式的应用，将$f(x)+g(x)$的有界性转化为对$g(x)$的限制，进而产生矛盾。

步骤1：假设$f(x)+g(x)$有界
假设$f(x)+g(x)$在$X$上有界，即存在正数$K$，使得对所有$x \in X$，有：
$|f(x) + g(x)| \leq K.$

步骤2：利用三角不等式分析$g(x)$
根据三角不等式：
$|g(x)| = |(f(x) + g(x)) - f(x)| \leq |f(x) + g(x)| + |f(x)|.$
由于$f(x)$有界，存在正数$M$，使得$|f(x)| \leq M$。代入上式得：
$|g(x)| \leq K + M.$

步骤3：产生矛盾
上式表明$g(x)$被$K+M$限制，与$g(x)$在$X$上无界矛盾。因此，假设不成立，$f(x)+g(x)$必无界。