求 ln (3+4i) 和Ln (3+4i) -

考查要点：本题主要考查复数自然对数的计算，涉及复数的模、幅角以及多值性。

解题核心思路：

1. 确定复数的模：计算复数$3+4i$的模长，即$\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。
2. 确定幅角：复数$3+4i$的幅角$\theta = \arctan\left(\frac{4}{3}\right)$，也可表示为$\arccos\left(\frac{3}{5}\right)$或$\arcsin\left(\frac{4}{5}\right)$。
3. 复数自然对数的表达式：复数自然对数为多值函数，主值为$\ln|z| + i\theta$，一般形式为$\ln|z| + i(\theta + 2k\pi)$（$k$为整数）。

关键点：

• 模长和幅角的计算是基础。
• 多值性需通过整数$k$体现。

复数自然对数的计算

1. 计算模长
   复数$3+4i$的模长为：
   $|3+4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5.$

2. 确定幅角
   幅角$\theta$满足：
   $\cos\theta = \frac{3}{5}, \quad \sin\theta = \frac{4}{5},$
   因此：
   $\theta = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) = \arccos\left(\frac{3}{5}\right) = \arcsin\left(\frac{4}{5}\right).$

3. 复数自然对数的表达式

   • 主值（$k=0$）：
     $\text{Ln}(3+4i) = \ln 5 + i\arctan\left(\frac{4}{3}\right).$
   • 一般形式：
     $\ln(3+4i) = \ln 5 + i\left(\arctan\left(\frac{4}{3}\right) + 2k\pi\right), \quad k \in \mathbb{Z}.$