题目

13.X服从正态分布，EX=-1，EX^2=5，X_(1),X_(2),...,X_(n)是来自总体X的一个样本，则overline(X)=(1)/(n)sum_(i=1)^nX_(i)服从的分布为（）。A. N(-1,(5)/(n))B. N(-1,(4)/(n))C. N((-1)/(n),(5)/(n))D. N((-1)/(n),(4)/(n))

13.X服从正态分布，EX=-1，$EX^{2}=5$，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是来自总体X的一个样本，则$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$服从的分布为（）。

A. $N(-1,\frac{5}{n})$

B. $N(-1,\frac{4}{n})$

C. $N(\frac{-1}{n},\frac{5}{n})$

D. $N(\frac{-1}{n},\frac{4}{n})$

题目解答

答案

B. $N(-1,\frac{4}{n})$

解析

考查要点：本题主要考查正态分布的性质及样本均值的分布规律。
解题核心思路：

  1. 确定总体均值和方差：利用已知的$EX$和$EX^2$计算总体方差$DX$。
  2. 推导样本均值的分布：根据正态分布的可加性，样本均值$\overline{X}$仍服从正态分布，其均值和方差可通过总体参数推导。
    破题关键点：
  • 方差公式：$DX = EX^2 - (EX)^2$。
  • 样本均值的方差：$D(\overline{X}) = \frac{DX}{n}$。

  1. 计算总体方差
    已知$EX = -1$，$EX^2 = 5$，代入方差公式：
    $DX = EX^2 - (EX)^2 = 5 - (-1)^2 = 5 - 1 = 4.$
    因此，总体方差为$4$。

  2. 推导样本均值的分布

    • 期望：样本均值的期望与总体均值相同，即
      $E(\overline{X}) = EX = -1.$
    • 方差：样本均值的方差为总体方差除以样本量$n$，即
      $D(\overline{X}) = \frac{DX}{n} = \frac{4}{n}.$
    • 分布形式：由于$X$服从正态分布，$\overline{X}$也服从正态分布，因此$\overline{X} \sim N\left(-1, \frac{4}{n}\right)$。

  3. 选项匹配
    选项中符合$N\left(-1, \frac{4}{n}\right)$的是B。