题目
6.设(X1,X2,X3,X4)是来自正态总体N(0,2^2)的简单随机样本,记 =a((X)_(1)--|||-(2{x)_(2))}^2+b((3{x)_(3)-4(x)_(4))}^2 ,求a,b的值,使统计量X服从x^2分布,并求其自由度.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定正态分布的性质
已知样本 ${X}_{i}\sim N(0,2^2)$ (i=1,2,3,4)，且相互独立。这意味着每个样本的均值为0，方差为4。
步骤 2：计算线性组合的分布
考虑线性组合 ${X}_{1}-2{X}_{2}$ 和 $3{X}_{3}-4{X}_{4}$。由于 ${X}_{i}$ 相互独立，这两个线性组合也是正态分布的。具体来说，${X}_{1}-2{X}_{2}$ 的方差为 $Var(X_1) + 4Var(X_2) = 4 + 4*4 = 20$，因此 ${X}_{1}-2{X}_{2}\sim N(0,20)$。同理，$3{X}_{3}-4{X}_{4}$ 的方差为 $9Var(X_3) + 16Var(X_4) = 9*4 + 16*4 = 100$，因此 $3{X}_{3}-4{X}_{4}\sim N(0,100)$。
步骤 3：标准化并求和
为了使 $X=a({X}_{1}-2{X}_{2})^2+b(3{X}_{3}-4{X}_{4})^2$ 服从 $\chi^2$ 分布，我们需要标准化这两个正态分布的线性组合。标准化后的变量分别是 ${(\dfrac {{X}_{1}-2{X}_{2}}{\sqrt {20}})}^{2}$ 和 ${(\dfrac {3{X}_{3}-4{X}_{4}}{10})}^{2}$，它们分别服从 $\chi^2(1)$ 分布。由于这两个变量相互独立，它们的和也服从 $\chi^2$ 分布，自由度为2。
步骤 4：确定a和b的值
为了使 $X$ 服从 $\chi^2$ 分布，我们需要 $a$ 和 $b$ 的值使得 $X$ 的形式与标准化后的变量的和一致。因此，$a=\dfrac {1}{20}$ 和 $b=\dfrac {1}{100}$。
已知样本 ${X}_{i}\sim N(0,2^2)$ (i=1,2,3,4)，且相互独立。这意味着每个样本的均值为0，方差为4。
步骤 2：计算线性组合的分布
考虑线性组合 ${X}_{1}-2{X}_{2}$ 和 $3{X}_{3}-4{X}_{4}$。由于 ${X}_{i}$ 相互独立，这两个线性组合也是正态分布的。具体来说，${X}_{1}-2{X}_{2}$ 的方差为 $Var(X_1) + 4Var(X_2) = 4 + 4*4 = 20$，因此 ${X}_{1}-2{X}_{2}\sim N(0,20)$。同理，$3{X}_{3}-4{X}_{4}$ 的方差为 $9Var(X_3) + 16Var(X_4) = 9*4 + 16*4 = 100$，因此 $3{X}_{3}-4{X}_{4}\sim N(0,100)$。
步骤 3：标准化并求和
为了使 $X=a({X}_{1}-2{X}_{2})^2+b(3{X}_{3}-4{X}_{4})^2$ 服从 $\chi^2$ 分布，我们需要标准化这两个正态分布的线性组合。标准化后的变量分别是 ${(\dfrac {{X}_{1}-2{X}_{2}}{\sqrt {20}})}^{2}$ 和 ${(\dfrac {3{X}_{3}-4{X}_{4}}{10})}^{2}$，它们分别服从 $\chi^2(1)$ 分布。由于这两个变量相互独立，它们的和也服从 $\chi^2$ 分布，自由度为2。
步骤 4：确定a和b的值
为了使 $X$ 服从 $\chi^2$ 分布，我们需要 $a$ 和 $b$ 的值使得 $X$ 的形式与标准化后的变量的和一致。因此，$a=\dfrac {1}{20}$ 和 $b=\dfrac {1}{100}$。