题目
【例22】(2022,数二)已知函数y=y(x)由方程x^2+xy+y^3=3确定，则y(1)=____.
【例22】(2022,数二)已知函数$y=y(x)$由方程$x^{2}+xy+y^{3}=3$确定，则y(1)=____.
题目解答
答案
为了找到由方程 $x^2 + xy + y^3 = 3$ 确定的函数 $y = y(x)$ 在 $x = 1$ 时的值 $y(1)$，我们需要将 $x = 1$ 代入方程并求解 $y$。
从方程开始：
\[x^2 + xy + y^3 = 3,\]
我们将 $x = 1$ 代入：
\[1^2 + 1 \cdot y + y^3 = 3.\]
这简化为：
\[1 + y + y^3 = 3.\]
接下来，我们通过从两边减去3来隔离 $y$ 和 $y^3$：
\[y^3 + y + 1 - 3 = 0,\]
这进一步简化为：
\[y^3 + y - 2 = 0.\]
现在，我们需要解立方方程 $y^3 + y - 2 = 0$。我们可以尝试一些简单的 $y$ 值来查看它们是否满足方程。让我们尝试 $y = 1$：
\[1^3 + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0.\]
由于 $y = 1$ 满足方程，它是一个解。为了确认没有其他实数解，我们可以使用导数来检查函数 $f(y) = y^3 + y - 2$ 的行为。函数 $f(y)$ 的导数为：
\[f'(y) = 3y^2 + 1.\]
由于 $3y^2 + 1$ 对于所有实数 $y$ 总是正的，函数 $f(y)$ 是严格递增的。因此，方程 $y^3 + y - 2 = 0$ 最多有一个实数解，我们已经找到它为 $y = 1$。
因此，$y(1)$ 的值是 $\boxed{1}$。
解析
考查要点：本题主要考查隐函数在特定点的函数值求解，涉及代入法和简单三次方程的求解。
解题思路：
- 代入法：将已知点的横坐标代入方程，得到关于纵坐标的方程。
- 试根法：尝试简单的整数值代入三次方程，寻找实数解。
- 单调性分析：通过导数判断函数单调性，确认解的唯一性。
关键点：
- 代入后方程的简化是基础步骤。
- 三次方程的实数解存在性与唯一性需结合导数分析。
将 $x = 1$ 代入方程 $x^2 + xy + y^3 = 3$，得：
$1^2 + 1 \cdot y + y^3 = 3 \implies y^3 + y + 1 = 3.$
整理方程：
$y^3 + y - 2 = 0.$
试根法：
尝试 $y = 1$：
$1^3 + 1 - 2 = 0 \quad \text{成立}，$
因此 $y = 1$ 是方程的一个解。
唯一性分析：
定义函数 $f(y) = y^3 + y - 2$，求导得：
$f'(y) = 3y^2 + 1 > 0 \quad (\text{对所有实数} y \text{成立}).$
由于 $f(y)$ 严格递增，方程 $f(y) = 0$ 仅有一个实数解，即 $y = 1$。