题目
5、机器包装糖果，每袋净重量X（单位：g）服从正态分布，规定每袋净重量为500克，标准差不能超过10克。某天开工后，为检验机器工作是否正常，从包装好的食盐中随机抽取9袋，测得其净重量为：497 507 510 475 484 488 524 491 515以显著性水平alpha=0.05检验这天包装机工作是否正常？（分别检验总体均值和总体方差）
5、机器包装糖果，每袋净重量X（单位：g）服从正态分布，规定每袋净重量为500克，标准差不能超过10克。某天开工后，为检验机器工作是否正常，从包装好的食盐中随机抽取9袋，测得其净重量为：
497 507 510 475 484 488 524 491 515
以显著性水平$\alpha=0.05$检验这天包装机工作是否正常？（分别检验总体均值和总体方差）
题目解答
答案
1. **计算样本均值和方差**
样本均值 $\bar{x} = 499$，样本方差 $s^2 = 256.5$，样本标准差 $s \approx 16.0156$。
2. **检验总体均值**
假设 $H_0: \mu = 500$，检验统计量 $T = \frac{\bar{x} - 500}{s/\sqrt{9}} \approx -0.1873$。
对于 $\alpha = 0.05$，$t_{0.025}(8) = 2.306$，
$|T| < 2.306$，接受 $H_0$，认为均值为500。
3. **检验总体方差**
假设 $H_0: \sigma \le 10$，检验统计量 $\chi^2 = \frac{8s^2}{10^2} = 20.52$。
对于 $\alpha = 0.05$，$\chi^2_{0.05}(8) = 15.507$，
$\chi^2 > 15.507$，拒绝 $H_0$，认为标准差大于10。
**结论**：
包装机均值无显著差异，但方差超过规定，工作不稳定。
\[
\boxed{\text{包装机没有系统误差，但工作不够稳定，不正常。}}
\]
解析
步骤 1：计算样本均值和方差
首先，计算样本均值 $\bar{x}$ 和样本方差 $s^2$。
样本均值 $\bar{x} = \frac{1}{9} \sum_{i=1}^{9} x_i = \frac{1}{9} (497 + 507 + 510 + 475 + 484 + 488 + 524 + 491 + 515) = 499$。
样本方差 $s^2 = \frac{1}{8} \sum_{i=1}^{9} (x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{8} (497-499)^2 + (507-499)^2 + ... + (515-499)^2 = 256.5$。
样本标准差 $s = \sqrt{s^2} \approx 16.0156$。
步骤 2：检验总体均值
假设 $H_0: \mu = 500$，检验统计量 $T = \frac{\bar{x} - 500}{s/\sqrt{9}} \approx -0.1873$。
对于 $\alpha = 0.05$，$t_{0.025}(8) = 2.306$，$|T| < 2.306$，接受 $H_0$，认为均值为500。
步骤 3：检验总体方差
假设 $H_0: \sigma \le 10$，检验统计量 $\chi^2 = \frac{8s^2}{10^2} = 20.52$。
对于 $\alpha = 0.05$，$\chi^2_{0.05}(8) = 15.507$，$\chi^2 > 15.507$，拒绝 $H_0$，认为标准差大于10。
首先，计算样本均值 $\bar{x}$ 和样本方差 $s^2$。
样本均值 $\bar{x} = \frac{1}{9} \sum_{i=1}^{9} x_i = \frac{1}{9} (497 + 507 + 510 + 475 + 484 + 488 + 524 + 491 + 515) = 499$。
样本方差 $s^2 = \frac{1}{8} \sum_{i=1}^{9} (x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{8} (497-499)^2 + (507-499)^2 + ... + (515-499)^2 = 256.5$。
样本标准差 $s = \sqrt{s^2} \approx 16.0156$。
步骤 2：检验总体均值
假设 $H_0: \mu = 500$，检验统计量 $T = \frac{\bar{x} - 500}{s/\sqrt{9}} \approx -0.1873$。
对于 $\alpha = 0.05$，$t_{0.025}(8) = 2.306$，$|T| < 2.306$，接受 $H_0$，认为均值为500。
步骤 3：检验总体方差
假设 $H_0: \sigma \le 10$，检验统计量 $\chi^2 = \frac{8s^2}{10^2} = 20.52$。
对于 $\alpha = 0.05$，$\chi^2_{0.05}(8) = 15.507$，$\chi^2 > 15.507$，拒绝 $H_0$，认为标准差大于10。