题目
七、计算题(本大题7分)某批铝材料的比重Xsim N(mu,sigma^2)，且mu,sigma均为未知参数.现测量它的比重16次，得其样本均值overline(x)=2.7，样本标准差s=0.04.试求：mu的置信水平为0.95的双侧置信区间.(注：t_(0.05)(15)=1.753，t_(0.05)(16)=1.745，t_(0.025)(15)=2.132，t_(0.025)(16)=2.120).
七、计算题(本大题7分)
某批铝材料的比重$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，且$\mu,\sigma$均为未知参数.现测量它的比重16次，得其样本均值$\overline{x}=2.7$，样本标准差s=0.04.试求：$\mu$的置信水平为0.95的双侧置信区间.
(注：$t_{0.05}(15)=1.753$，$t_{0.05}(16)=1.745$，$t_{0.025}(15)=2.132$，$t_{0.025}(16)=2.120$).
题目解答
答案
为了求出总体均值$\mu$的置信水平为0.95的双侧置信区间，我们使用t分布，因为总体标准差$\sigma$未知，且样本量较小（n=16）。
置信区间的一般公式为：
\[
\overline{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}
\]
其中：
- $\overline{x}$是样本均值，
- $t_{\alpha/2, n-1}$是t分布的上$\alpha/2$分位数，自由度为$n-1$，
- $s$是样本标准差，
- $n$是样本量。
在这个问题中：
- $\overline{x} = 2.7$，
- $s = 0.04$，
- $n = 16$，
- $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$，
- $\alpha/2 = 0.025$，
- 自由度$n-1 = 15$。
从给定的表格中，我们找到$t_{0.025, 15} = 2.132$。
现在，我们可以将这些值代入置信区间公式：
\[
2.7 \pm 2.132 \cdot \frac{0.04}{\sqrt{16}}
\]
首先，计算标准误：
\[
\frac{0.04}{\sqrt{16}} = \frac{0.04}{4} = 0.01
\]
接下来，计算 margin of error：
\[
2.132 \cdot 0.01 = 0.02132
\]
最后，计算置信区间：
\[
2.7 \pm 0.02132 = (2.7 - 0.02132, 2.7 + 0.02132) = (2.67868, 2.72132)
\]
因此，$\mu$的置信水平为0.95的双侧置信区间是：
\[
\boxed{(2.6787, 2.7213)}
\]