题目

七、计算题(本大题7分)某批铝材料的比重Xsim N(mu,sigma^2)，且mu,sigma均为未知参数.现测量它的比重16次，得其样本均值overline(x)=2.7，样本标准差s=0.04.试求：mu的置信水平为0.95的双侧置信区间.(注：t_(0.05)(15)=1.753，t_(0.05)(16)=1.745，t_(0.025)(15)=2.132，t_(0.025)(16)=2.120).

七、计算题(本大题7分) 某批铝材料的比重$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，且$\mu,\sigma$均为未知参数.现测量它的比重16次，得其样本均值$\overline{x}=2.7$，样本标准差s=0.04.试求：$\mu$的置信水平为0.95的双侧置信区间. (注：$t_{0.05}(15)=1.753$，$t_{0.05}(16)=1.745$，$t_{0.025}(15)=2.132$，$t_{0.025}(16)=2.120$).

题目解答

答案

为了求出总体均值$\mu$的置信水平为0.95的双侧置信区间，我们使用t分布，因为总体标准差$\sigma$未知，且样本量较小（n=16）。 置信区间的一般公式为： \[ \overline{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \] 其中： - $\overline{x}$是样本均值， - $t_{\alpha/2, n-1}$是t分布的上$\alpha/2$分位数，自由度为$n-1$， - $s$是样本标准差， - $n$是样本量。 在这个问题中： - $\overline{x} = 2.7$， - $s = 0.04$， - $n = 16$， - $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$， - $\alpha/2 = 0.025$， - 自由度$n-1 = 15$。 从给定的表格中，我们找到$t_{0.025, 15} = 2.132$。 现在，我们可以将这些值代入置信区间公式： \[ 2.7 \pm 2.132 \cdot \frac{0.04}{\sqrt{16}} \] 首先，计算标准误： \[ \frac{0.04}{\sqrt{16}} = \frac{0.04}{4} = 0.01 \] 接下来，计算 margin of error： \[ 2.132 \cdot 0.01 = 0.02132 \] 最后，计算置信区间： \[ 2.7 \pm 0.02132 = (2.7 - 0.02132, 2.7 + 0.02132) = (2.67868, 2.72132) \] 因此，$\mu$的置信水平为0.95的双侧置信区间是： \[ \boxed{(2.6787, 2.7213)} \]

解析

本题考查在总体标准差 $\sigma$ 未知且样本量较小的情况下，求总体均值 $\mu$ 的置信水平为 $0.95$ 的双侧置信区间，解题思路是使用 $t$ 分布来构建置信区间。

  1. 首先明确置信区间的公式：
    • 当总体标准差 $\sigma$ 未知，样本量为 $n$ 时，总体均值 $\mu$ 的置信水平为 $1 - \alpha$ 的双侧置信区间公式为 $\overline{x} \pm t_{\alpha/2, n - 1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}$。
    • 其中 $\overline{x}$ 是样本均值，$t_{\alpha/2, n - 1}$ 是自由度为 $n - 1$ 的 $t$ 分布的上 $\alpha/2$ 分位数，$s$ 是样本标准差，$n$ 是样本量。
  2. 然后确定各参数的值：
    • 已知样本均值 $\overline{x}=2.7$，样本标准差 $s = 0.04$，样本量 $n = 16$。
    • 因为置信水平为 $0.95$，所以 $\alpha=1 - 0.95 = 0.05$，则 $\alpha/2=0.025$。
    • 自由度为 $n - 1=16 - 1 = 15$。
  3. 接着查找 $t$ 分布表得到 $t_{\alpha/2, n - 1}$ 的值：
    • 由给定的表格可知，$t_{0.025,15}=2.132$。
  4. 再计算标准误 $\frac{s}{\sqrt{n}}$：
    • 根据公式 $\frac{s}{\sqrt{n}}$，将 $s = 0.04$，$n = 16$ 代入可得：$\frac{0.04}{\sqrt{16}}=\frac{0.04}{4}=0.01$。
  5. 然后计算误差范围 $t_{\alpha/2, n - 1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}$：
    • 把 $t_{0.025,15}=2.132$ 和 $\frac{s}{\sqrt{n}} = 0.01$ 代入可得：$2.132\times0.01 = 0.02132$。
  6. 最后计算置信区间：
    • 置信区间为 $\overline{x}\pm t_{\alpha/2, n - 1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}$，即 $2.7\pm0.02132$。
    • 下限为 $2.7-0.02132 = 2.67868$，上限为 $2.7 + 0.02132=2.72132$。
    • 通常将结果保留四位小数，所以置信区间为 $(2.6787, 2.7213)$。