题目
频率/组距-|||-。 30 50 70 90 110 130 150成都市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的则被淘汰．若现有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如下：（1）求获得参赛资格的人数；（2）根据频率直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；（3）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有3次选题答题的机会，累计答对2题或答错2题即终止，答对2题者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为(1)/(9)，求甲通过初赛的概率．
成都市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的则被淘汰．若现有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如下：（1）求获得参赛资格的人数；
（2）根据频率直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；
（3）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有3次选题答题的机会，累计答对2题或答错2题即终止，答对2题者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为$\frac{1}{9}$，求甲通过初赛的概率．
题目解答
答案
解：（1）由频率分布直方图得，获得参赛资格的人数为
500×（0.0050+0.0043+0.0032）×20=125人；
（2）（40×0.0065+60×0.0140+80×0.0170+100×0.0050+120×0.0043+140×0.0032）×20
=（0.26+0.84+1.36+0.5+0.516+0.448）×20=78.48
（3）设甲答对每一道题的概率为p，则（1-p）2=$\frac{1}{9}$解得：p=$\frac{2}{3}$，
甲通过初赛说明答对2题，分为两种情形，前2题答对1题的，第3题答对的概率为${C}_{2}^{1}\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{8}{27}$，
前2题答对的概率为$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{4}{9}$，
∴甲通过初赛的概率为$\frac{8}{27}$+$\frac{4}{9}$=$\frac{20}{27}$．
500×（0.0050+0.0043+0.0032）×20=125人；
（2）（40×0.0065+60×0.0140+80×0.0170+100×0.0050+120×0.0043+140×0.0032）×20
=（0.26+0.84+1.36+0.5+0.516+0.448）×20=78.48
（3）设甲答对每一道题的概率为p，则（1-p）2=$\frac{1}{9}$解得：p=$\frac{2}{3}$，
甲通过初赛说明答对2题，分为两种情形，前2题答对1题的，第3题答对的概率为${C}_{2}^{1}\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{8}{27}$，
前2题答对的概率为$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{4}{9}$，
∴甲通过初赛的概率为$\frac{8}{27}$+$\frac{4}{9}$=$\frac{20}{27}$．
解析
步骤 1：计算获得参赛资格的人数
根据频率分布直方图，成绩大于或等于90分的频率为0.0050+0.0043+0.0032，组距为20，因此获得参赛资格的人数为500×（0.0050+0.0043+0.0032）×20。
步骤 2：估算平均成绩
根据频率分布直方图，计算每个组的中点值与频率的乘积，然后求和，最后乘以组距20。
步骤 3：计算甲通过初赛的概率
设甲答对每一道题的概率为p，则连续两次答错的概率为（1-p）^2=$\frac{1}{9}$，解得p=$\frac{2}{3}$。甲通过初赛说明答对2题，分为两种情形，前2题答对1题的，第3题答对的概率为${C}_{2}^{1}\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{8}{27}$，前2题答对的概率为$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{4}{9}$，因此甲通过初赛的概率为$\frac{8}{27}$+$\frac{4}{9}$=$\frac{20}{27}$。
根据频率分布直方图，成绩大于或等于90分的频率为0.0050+0.0043+0.0032，组距为20，因此获得参赛资格的人数为500×（0.0050+0.0043+0.0032）×20。
步骤 2：估算平均成绩
根据频率分布直方图，计算每个组的中点值与频率的乘积，然后求和，最后乘以组距20。
步骤 3：计算甲通过初赛的概率
设甲答对每一道题的概率为p，则连续两次答错的概率为（1-p）^2=$\frac{1}{9}$，解得p=$\frac{2}{3}$。甲通过初赛说明答对2题，分为两种情形，前2题答对1题的，第3题答对的概率为${C}_{2}^{1}\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{8}{27}$，前2题答对的概率为$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{4}{9}$，因此甲通过初赛的概率为$\frac{8}{27}$+$\frac{4}{9}$=$\frac{20}{27}$。