题目
3) 设随机变量X服从正态分布N(2,9),则P(X<5)=____。
3) 设随机变量X服从正态分布N(2,9),则P(X<5)=____。
题目解答
答案
为了求解 $ P(X < 5) $ 其中 $ X $ 服从正态分布 $ N(2, 9) $，我们需要将 $ X $ 转换为标准正态分布 $ Z $。标准正态分布的均值为0，方差为1。
正态分布 $ N(2, 9) $ 的均值 $ \mu = 2 $，方差 $ \sigma^2 = 9 $，因此标准差 $ \sigma = \sqrt{9} = 3 $。
转换公式为:
\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]
将 $ X = 5 $ 代入公式，得到:
\[ Z = \frac{5 - 2}{3} = \frac{3}{3} = 1 \]
现在，我们需要求 $ P(Z < 1) $。这可以通过标准正态分布表来找到。标准正态分布表给出了 $ Z $ 值小于某个值的概率。
从标准正态分布表中，我们可以找到 $ P(Z < 1) \approx 0.8413 $。
因此， $ P(X < 5) = P(Z < 1) \approx 0.8413 $。
所以，答案是:
\[ \boxed{0.8413} \]
解析
本题考察正态分布与标准正态分布的转换及概率计算。核心思路是将给定正态分布的随机变量转化为标准正态分布，再通过标准正态分布表查得对应概率。
步骤1：明确正态分布参数
随机变量$X\sim N(2,9)$，表示均值$\mu=2$，方差$\sigma^2=9$，故标准差$\sigma=\sqrt{9}=3$。
步骤2：转换为标准正态分布
标准正态分布$Z\sim N(0,1)$，转换公式为：
$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$
当$X=5$时：
$Z=\frac{5-2}{3}=\frac{3}{3}=1$
步骤3：查标准正态分布表
$P(X<5)=P(Z<1)$，查标准正态分布表得$P(Z<1)\approx0.8413$。