2.lim_(xtoinfty)(1+(1)/(x))^-2x+1= （）A. e^-2B. e^-1C. eD. e^2

本题考查重要极限公式$\lim_{x\to\infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e$的应用。。解题思路是通过对原式进行变形，使其符合重要极限公式的形式，然后再进行计算。

1. 首先，对原式$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{-2x + 1}$进行变形：
   • 根据指数运算法则$a^{m+n}=a^m\times a^n$，可将$(1+\frac{1}{}{x})^{-2x + 1}$变形为$(1+\frac{1}{x})^{-2x}\times(1+\frac{x})^1$。
     那么$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{-2x + 1}=\lim_{x\to\infty}[(1+\frac{1}{x})^{-2x}\times(1+\frac{1}{x})^1]$。
2. 然后，根据极限的乘法运算法则$\lim_{x\to a}[f(x)\cdot g(x)]=\lim_{x\to a}f(x)\cdot\lim_{x\to a}g(x)$（前提是$\lim_{x\to a}f(x)$和$\lim_{x\to a}g(x)$都存在的情况下），可得：
   $\lim_{x\to\infty}[(1+\frac{1}{x})^{-2x}\times(1+\frac{1}{x})^1]=\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{-2x}\times\times\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})$。
3. 接着，分别计算两个极限：
   • 计算$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})$：
     当$x\to\infty$时，$\frac{1}{x}\to0$，所以$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x}}=1 + 0 = 1$。
   • 计算$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{-2x}$：
     令$t=-2x$，则当$1+\frac{1}{x})^{-2x}=(1+\frac{1}{x})^t$，当$x\to\infty$时，$t\to-\infty$。
     又因为$(1+\frac{1}{x})^{-2x}}=[(1+\frac{1}{x})^x]^{-2}$，根据重要极限公式$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x = e$，可得$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{-2x}=\lim_{x\to\infty}[(1+\frac{1}{x})^x]^{-2}=e^{-2}$。
4. 最后，将两个极限的结果相乘：
   $\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{-2x}\times\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})=e^{-2}\times1 = e^{-2}$。