求y^2+x^2(dy)/(dx)=xy(dy)/(dx)的通解

本题考查一阶齐次微分方程的求解。解题的关键思路是通过变量代换将齐次微分方程转化为可分离变量的微分方程，然后进行分离变量、积分求解，最后再将代换变量还原得到原方程的通解。

1. 判断方程类型并变形：
   给定方程$y^{2}+x^{2}\frac{dy}{dx}=xy\frac{dy}{dx}$，移项可得$x^{2}\frac{dy}{dx}-xy\frac{dy}{dx}=-y^{2}$，进一步整理得到$\frac{dy}{dx}=\frac{y^{2}}{xy - x^{2}}$。
   为了将其转化为齐次方程的标准形式，分子分母同时除以$x^{2}$，即$\frac{dy}{dx}=\frac{\left(\frac{y}{x}\right)^{2}}{\frac{y}{x}-1}$。
2. 进行变量代换：
   令$u = \frac{y}{x}$，则$y = ux$。
   根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，对$y = ux$两边关于$x$求导，可得$\frac{dy}{dx}=u + x\frac{du}{dx}$。
   将$\frac{dy}{dx}=u + x\frac{du}{dx}$和$u = \frac{y}{x}$代入$\frac{dy}{dx}=\frac{\left(\frac{y}{x}\right)^{2}}{\frac{y}{x}-1}$中，得到$u + x\frac{du}{dx}=\frac{u^{2}}{u - 1}$。
3. 分离变量：
   对$u + x\frac{du}{dx}=\frac{u^{2}}{u - 1}$进行移项，可得$x\frac{du}{dx}=\frac{u^{2}}{u - 1}-u$。
   对$\frac{u^{2}}{u - 1}-u$进行通分计算：
   $\frac{u^{2}}{u - 1}-u=\frac{u^{2}-u(u - 1)}{u - 1}=\frac{u^{2}-u^{2}+u}{u - 1}=\frac{u}{u - 1}$。
   所以$x\frac{du}{dx}=\frac{u}{u - 1}$，两边同时除以$x$和$\frac{u}{u - 1}$，得到$\frac{u - 1}{u}du=\frac{dx}{x}$。
4. 两边积分：
   对$\frac{u - 1}{u}du=\frac{dx}{x}$两边分别积分，$\int\frac{u - 1}{u}du=\int\left(1-\frac{1}{u}\right)du$，$\int\frac{dx}{x}$。
   根据积分公式$\int 1du = u$，$\int\frac{1}{u}du=\ln|u|$，$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|$，可得$\int\left(1-\frac{1}{u}\right)du = u-\ln|u|$，$\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C$（$C$为任意常数）。
   所以$u-\ln|u|=\ln|x|+C$。
5. 合并对数项并还原变量：
   由$u-\ln|u|=\ln|x|+C$，移项可得$u = \ln|ux|+C$，进一步变形为$ux = Ce^{u}$（这里$C$为任意常数）。
   将$u = \frac{y}{x}$代入$ux = Ce^{u}$中，得到$y = Ce^{\frac{y}{x}}$。