0 3 3-|||-设A= 1 1 0 且 =A+2B, 求B。-|||--1 2 3

考查要点：本题主要考查矩阵方程的求解，涉及矩阵的运算、逆矩阵的概念及求解方法。

解题核心思路：将方程整理为$(A - 2I)B = A$，若矩阵$A - 2I$可逆，则$B = (A - 2I)^{-1}A$。关键在于验证$A - 2I$是否可逆，并正确计算其逆矩阵。

破题关键点：

1. 方程变形：将原方程$AB = A + 2B$变形为$(A - 2I)B = A$。
2. 可逆性判断：通过计算行列式确认$A - 2I$可逆。
3. 逆矩阵计算：通过行变换法求逆矩阵。
4. 矩阵乘法：用逆矩阵乘以$A$得到$B$。

方程变形

原方程$AB = A + 2B$，移项得：
$AB - 2B = A \implies (A - 2I)B = A$
其中$I$为单位矩阵。

验证可逆性

计算$A - 2I$的行列式：
$\begin{vmatrix} -2 & 3 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 2 \neq 0$
因此$A - 2I$可逆。

求逆矩阵

通过行变换法求$(A - 2I)^{-1}$，最终得到：
$(A - 2I)^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & 1 & \frac{3}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$

计算$B$

$B = (A - 2I)^{-1}A = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{5}{2} & 3 \\ -1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$