题目

8.设(X_(1),X_(2),X_(3),X_(4))是取自总体Xsim P(lambda)的样本，则(1)/(8)X_(1)+(1)/(4)X_(2)+(3)/(8)X_(3)+(1)/(4)X_(4)是lambda的____估计量.(填无偏或有偏)

8.设$(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})$是取自总体$X\sim P(\lambda)$的样本，则$\frac{1}{8}X_{1}+\frac{1}{4}X_{2}+\frac{3}{8}X_{3}+\frac{1}{4}X_{4}$是$\lambda$的____估计量.(填无偏或有偏)

题目解答

答案

已知 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 是来自泊松分布 $P(\lambda)$ 的样本，每个 $X_i$ 的期望值为 $\lambda$。计算估计量的期望值： \[ E\left(\frac{1}{8}X_1 + \frac{1}{4}X_2 + \frac{3}{8}X_3 + \frac{1}{4}X_4\right) = \left(\frac{1}{8} + \frac{1}{4} + \frac{3}{8} + \frac{1}{4}\right)\lambda = \left(\frac{1+2+3+2}{8}\right)\lambda = \lambda. \] 由于期望值等于 $\lambda$，该估计量为无偏估计量。 答案：$\boxed{\text{无偏}}$

解析

本题考查的知识点是无偏估计量的判断。解题思路是根据无偏估计量的定义，若一个估计量 $\hat{\theta}$ 满足 $E(\hat{\theta}) = \theta$，则称 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的无偏估计量。对于本题，我们需要计算给定估计量 $\frac{1}{8}X_{1}+\frac{1}{4}X_{2}+\frac{3}{8}X_{3}+\frac{1}{4}X_{4}$ 的期望，然后判断其是否等于总体参数 $\lambda$。

  1. 首先明确已知条件：
    • 已知 $(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})$ 是取自总体 $X\sim P(\lambda)$ 的样本，根据泊松分布的性质，对于泊松分布 $X\sim P(\lambda)$，其期望 $E(X)=\lambda$，所以有 $E(X_{1}) = E(X_{2}) = E(X_{3}) = E(X_{4})=\lambda$。
  2. 然后根据期望的线性性质计算估计量的期望：
    • 期望的线性性质为 $E(aX + bY)=aE(X)+bE(Y)$（$a,b$ 为常数，$X,Y$ 为随机变量），对于多个随机变量的线性组合 $E(\sum_{i = 1}^{n}a_{i}X_{i})=\sum_{i = 1}^{n}a_{i}E(X_{i})$。
    • 对于估计量 $\hat{\lambda}=\frac{1}{8}X_{1}+\frac{1}{4}X_{2}+\frac{3}{8}X_{3}+\frac{1}{4}X_{4}$，其期望 $E(\hat{\lambda})=E(\frac{1}{8}X_{1}+\frac{1}{4}X_{2}+\frac{3}{8}X_{3}+\frac{1}{4}X_{4})$。
    • 根据期望的线性性质可得：$E(\hat{\lambda})=\frac{1}{8}E(X_{1})+\frac{1}{4}E(X_{2})+\frac{3}{8}E(X_{3})+\frac{1}{4}E(X_{4})$。
    • 把 $E(X_{1}) = E(X_{2}) = E(X_{3}) = E(X_{4})=\lambda$ 代入上式，得到 $E(\hat{\lambda})=\frac{1}{8}\lambda+\frac{1}{4}\lambda+\frac{3}{8}\lambda+\frac{1}{4}\lambda$。
    • 对系数进行通分计算：$\frac{1}{8}\lambda+\frac{1}{4}\lambda+\frac{3}{8}\lambda+\frac{1}{4}\lambda=(\frac{1}{8}+\frac{2}{8}+\frac{3}{8}+\frac{2}{8})\lambda$。
    • 计算括号内的值：$\frac{1 + 2+3 + 2}{8}=\frac{8}{8}=1$，所以 $E(\hat{\lambda})=\lambda$。
  3. 最后根据无偏估计量的定义进行判断：
    • 由于 $E(\frac{1}{8}X_{1}+\frac{1}{4}X_{2}+\frac{3}{8}X_{3}+\frac{1}{4}X_{4})=\lambda$，满足无偏估计量的定义，所以 $\frac{1}{8}X_{1}+\frac{1}{4}X_{2}+\frac{3}{8}X_{3}+\frac{1}{4}X_{4}$ 是 $\lambda$ 的无偏估计量。