三、填空题（共12题，12.0分）题型说明：每题1分，共12题70.（填空题，1.0分）设X1,X2,...Xn是来自正态总体N(μ,σ^2)的简单随机样本，则平均值Xbar服从（）分布第1空

考查要点：本题主要考查正态总体样本均值的分布性质，需要掌握正态分布的线性组合特性以及期望、方差的计算。

解题核心思路：

1. 正态分布的封闭性：正态变量的线性组合仍服从正态分布。
2. 期望与方差的计算：样本均值的期望与总体均值相同，方差为总体方差除以样本量。

破题关键点：

• 明确样本均值的定义式 $\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$。
• 利用正态分布的线性性质直接推导其分布形式。

设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是来自正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的简单随机样本，样本均值为 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$。

步骤1：计算期望

根据期望的线性性质：
$E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n\mu = \mu.$

步骤2：计算方差

由于样本独立，方差可加：
$\text{Var}(\overline{X}) = \text{Var}\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \text{Var}(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}.$

步骤3：确定分布形式

因为正态分布的线性组合仍为正态分布，所以 $\overline{X}$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$。