设随机变量X的方差D(X)存在，且D(X) > 0，令Y = −X，则ρ(XY) = ( )．A. −1B. 0C. 1D. 2

考查要点：本题主要考查相关系数的计算，涉及协方差、方差的性质及其相互关系。

解题核心思路：

1. 相关系数公式：$\rho(X,Y) = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$，其中$\text{Cov}(X,Y)$为协方差，$\sigma_X$和$\sigma_Y$分别为$X$和$Y$的标准差。
2. 协方差性质：$\text{Cov}(X, -X) = -\text{Cov}(X,X) = -D(X)$。
3. 方差性质：$D(-X) = D(X)$，因此$Y = -X$与$X$的方差相等，标准差也相等。

破题关键：

• 利用协方差的线性性质简化计算。
• 明确相关系数的符号由协方差的符号决定，而方差始终非负。

步骤1：计算协方差$\text{Cov}(X,Y)$
由$Y = -X$，根据协方差的性质：
$\text{Cov}(X, Y) = \text{Cov}(X, -X) = -\text{Cov}(X, X) = -D(X).$

步骤2：计算标准差$\sigma_X$和$\sigma_Y$
由于$Y = -X$，方差满足：
$D(Y) = D(-X) = (-1)^2 D(X) = D(X).$
因此，标准差$\sigma_Y = \sqrt{D(Y)} = \sqrt{D(X)} = \sigma_X$。

步骤3：代入相关系数公式
$\rho(X,Y) = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = \frac{-D(X)}{\sigma_X \cdot \sigma_X} = \frac{-D(X)}{D(X)} = -1.$

结论：$X$与$Y$的相关系数为$-1$，对应选项A。