题目
填空题（5.0分）5.设overline(X)为总体X~N(3,4)中抽取的样本(X_(1),X_(2),X_(3),X_(4))的均值，则P(1<5)=____.(其中φ(2)=0.9772.)第1空0.9544
填空题（5.0分）
5.设$\overline{X}$为总体X~N(3,4)中抽取的样本$(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})$的均值，则$P(1<5)$=____.(其中φ(2)=0.9772.)
第1空
0.9544
题目解答
答案
为了求解 $ P(1 < \overline{X} < 5) $，我们首先需要确定样本均值 $\overline{X}$ 的分布。由于总体 $X$ 服从正态分布 $N(3, 4)$，样本均值 $\overline{X}$ 也服从正态分布，其均值为总体均值，方差为总体方差除以样本容量。因此，$\overline{X} \sim N\left(3, \frac{4}{4}\right) = N(3, 1)$。
接下来，我们需要将不等式 $1 < \overline{X} < 5$ 转换为标准正态分布的形式。标准正态分布的随机变量 $Z$ 定义为 $Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma}$，其中 $\mu$ 是均值，$\sigma$ 是标准差。对于 $\overline{X} \sim N(3, 1)$，我们有 $\mu = 3$ 和 $\sigma = 1$。因此，我们可以将不等式转换如下：
\[
1 < \overline{X} < 5 \implies \frac{1 - 3}{1} < \frac{\overline{X} - 3}{1} < \frac{5 - 3}{1} \implies -2 < Z < 2
\]
现在，我们需要求 $P(-2 < Z < 2)$。根据标准正态分布的对称性，我们知道 $P(-2 < Z < 2) = 2P(0 < Z < 2)$。从标准正态分布表中，我们可以找到 $P(Z < 2) = 0.9772$。因此，$P(0 < Z < 2) = P(Z < 2) - P(Z < 0) = 0.9772 - 0.5 = 0.4772$。
所以，我们有：
\[
P(-2 < Z < 2) = 2 \times 0.4772 = 0.9544
\]
因此，答案是 $\boxed{0.9544}$。
解析
本题考查考查正态分布的性质以及样本均值的分布，解题思路是先根据总体分布求出样本均值的分布，再将所求概率转化为标准正态分布的概率，再利用标准正态分布的性质和已知条件计算出结果。
- 确定样本均值$\overline{X}$的分布：
已知总体$X\sim N(3,4)$，样本容量$n = 4$。根据样本均值的性质，若总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，从中抽取容量为$n$的样本，则样本均值$\overline{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$。
将$\mu = 3$，$\sigma^{2}=4$，$n = 4$代入可得$\(\overline{X}\sim N(3,\frac{4}{4})$，即$\overline{X}\sim N(3,1)$。 - 将$P(1 < \overline{X} < 5)$转化为标准正态分布的概率：
设$Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma}$，其中$\mu = 3$，$\sigma = 1$，则$Z\sim N(0,1)$。
对不等式$1 < \overline{X} < 5}$进行标准化：
$\begin{align*}1 < \overline{X} < 5&\implies\frac{1 - 3}{1}<\frac{\overline{X}-3}{1}<\frac{5 - 3}{1}\\&\implies - - 2 - **计算$P(-2 < Z < 2)$的值：
根据标准正态分布的对称性，$P(-2 < Z < 2)=2P(0 < Z < 2)$。
已知$P(0 < Z < 2)=P(Z < 2)-P(Z < 0)$，已知$\varPhi(2)=P(Z < 2)=0.9772$，且$P(Z < 0)=0.5$，则$P(0 < Z < 2)=0.9772 - 0.5 = 0.4772$。
则$P(-2 < Z < 2)=2\times0.4772 = 0.9544$。